Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Pada saat pertama kali kita belajar persamaan kuadrat, suatu persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dapat kita faktorkan menjadi a(x - α)(x - β)=0, dengan α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat.
Nah, sekarang kita akan menyusun atau menentukan persamaan kuadrat yang diketahui bentuk akar-akar persamaannya.

Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-Akarnya
Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x₁ dan x₂ maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk:

(x – x1) (x – x2) = 0

contoh 1.:
Susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya –2 dan 3
penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar-akar –2 dan 3, maka
x₁ = –2 dan x₂ = 3
dengan demikian:
(x – x₁) (x – x₂) = 0
(x – (–2)) (x – 3) = 0
(x + 2) (x – 3) = 0
x² – 3x + 2x – 6 = 0
x² – x – 6 = 0, yaitu dengan menganggap a = 1

contoh 2.:
Susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya -3 dan 3
penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar-akar -3 dan 3, maka
x₁ = -3 dan x₂ = 3
dengan demikian:
(x – x₁) (x – x₂) = 0
(x – (–3)) (x – 3) = 0
(x + 3) (x – 3) = 0
x² – 3x + 3x – 9 = 0
x² – 9 = 0, yaitu dengan menganggap a = 1

Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akarnya
Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x₁ dan x₂, dan diketahui (x₁ + x₂) dan (x₁.x₂) maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk

x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

Bentuk persamaan tersebut dapat digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat baru jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat baru berhubungan dengan persamaan kuadrat yang lain.

Contoh Soal:
contoh 3.:
1. Tentukan persamaan kuadrat dengan rumus yang akar-akarnya 1 dan –4
penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar-akar 1 dan -4, maka
x₁ = 1 dan x₂ = -4
dengan demikian:
x² -(x₁ + x₂)x+ x₁.x₂ = 0
x² -(1 + (-4))x+ 1.(-4) = 0
x² - (-3)x - 4 = 0
x² + 3x - 4 = 0

2. Tentukan persamaan kuadrat dengan rumus yang akar-akarnya 3 dan −1/2
penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar-akar 3 dan -1/2, maka

sehingga persamaan kuadratnya adalah


3. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan 3x² – 4x + 2 = 0
Jawab:
Misalkan, x adalah akar dari persamaan kuadrat 3x² – 4x + 2 = 0, sedangkan persamaan kuadrat baru memiliki akar-akar a, maka
a = x + 2 ⇔ x = a – 2
Substitusikan x = a – 2 ke dalam persamaan kuadrat semula sehingga
diperoleh:
3x² – 4x + 2 = 0
3 (a – 2)² – 4 (a – 2) + 2 = 0
3 (a² – 4a + 4) – 4a + 8 + 2 = 0
3a² – 12a + 12 – 4a + 10 = 0
3a² – 16a + 22 = 0
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah 3a² – 16a + 22 = 0 atau dapat juga dinyatakan dalam bentuk 3x² – 16x + 22 = 0.


4. Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 mempunyai akar x₁ dan x₂. Jika x₁ + x₂ = 3 dan x₁.x₂= –1/2, persamaan kuadrat tersebut adalah

penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki
x₁ + x₂ = 3
x₁.x₂ = -1/2
dengan demikian:
x² -(x₁ + x₂)x+ x₁.x₂ = 0
x² -(3)x - 1/2 = 0
x² - 3x - 1/2 = 0
2x² - 6x - 1 = 0


5. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat x² – 8x – 2 = 0 adalah x₁ dan x₂. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x₁/x₂ dan x₂/x₁

penyelesaian:
x² – 8x – 2 = 0
Dengan nilai a = 1, b = –8, c = –2 maka

Misalkan, akar-akar persamaan kuadrat barunya adalah α dan β


Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah:
x² – (α + β)x + (α.β) = 0
x² – (–34)x + 1 = 0
x² + 34x + 1 = 0.