Menentukan persamaan fungsi kuadrat

c. Menentukan persamaan fungsi kuadrat
Pada materi sebelumnya telah dibahas langkah-langkah untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat, apabila fungsi kuadratnya diketahui. Sebaliknya, bagaimana cara untuk menentukan fungsi kuadrat jika grafiknya diketahui?
Untuk menjawab pertanyaan diatas, simak penjelasan dibawah ini.

Ada beberapa cara yang dapat digunakan Untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat, yaitu:

1.	Jika grafik fungsi kuadratnya memotong sumbu x di titik (x1, 0) dan (x2, 0) maka persamaanya
	y = a(x – x1 )(x – x2 )
2.	Jika grafik fungsi kuadratnya mempunyai titik balik (xe, ye), maka persamaannya
	y = a(x–xe)2 + ye
3.	jika grafik kuadratnya melalui 3 titik selain yang disebutkan diatas, maka untuk menentukan persamaan
	kuadratnya digunakan cara subtitusi dan eliminasi titik ke bentuk umum persamaan kuadrat, yaitu:
	y= ax2 + bx + c

oke mari kita bahas satu-persatu
1. Menentukan grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x
Untuk grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di titik (x₁, 0) dan (x₂, 0) maka persamaannya

y = a(x – x1 ) (x – x2 )

Kemudian substitusikan salah satu titik yang tidak terletak pada sumbu x ke persamaan untuk memperoleh nilai a, lalu substitusikan nilai a yang telah diperoleh pada persamaannya.

Contoh 1:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (–1,0) dan
(3,0) serta melalui titik (1,8)!
Penyelesaian:
grafiknya memotong sumbu x di titik
sehingga x₁ = – 1 dan x₂ = 3

Fungsi kuadrat tersebut adalah
y = a(x – x₁ ) (x – x₂ )
y = a(x – (– 1) ) (x – 3 )
y = a(x + 1)(x – 3) ......... (1)
Melalui titik (1,8) ⇒ subtitusikan titik ini ke persamaan yang di peroleh, yaitu persamaan (1)
y = a(x + 1)(x – 3)
8 = a(1 + 1)(1– 3)
8 = a (2). (–2)
8 = a(–4)
a = –2
subtitusikan nilai a = –2 ke persamaan (1), sehingga:
y = –2(x + 1)(x – 3)
y = – 2(x² – 2x – 3)
y = – 2x² + 4x + 6.
Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = –2x² + 4x + 6.

Contoh 1:
Tentukan fungsi kuadrat di bawah ini:


Jawab:
Grafik fungsi kuadrat diatas memotong sumbu x di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik (0,3). sehingga diketahui:
x₁ = 1 dan x₂ = 3
Fungsi kuadrat tersebut adalah
y = a(x – x₁ ) (x – x₂ )
y = a(x – 1 ) (x – 3 ) ......... (1)
Melalui titik (0,3) ⇒ subtitusikan titik ini ke persamaan yang di peroleh, yaitu persamaan (1)
y = a(x – 1)(x – 3)
3 = a(0 – 1)(0 – 3)
3 = a (–1). (–3)
3 = a(3)
a = 1
subtitusikan nilai a = 1 ke persamaan (1), sehingga:
y = 1(x – 1)(x – 3)
y = (x² – 4x + 3)
Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = x² – 4x + 3.

2. Menentukan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (x_e,y_e)
Jika grafik fungsi kuadrat mempunyai titik puncak (x_e,y_e) maka persamaan yang digunakan adalah

y = a(x–xe)2 + ye

Kemudian substitusikan titik yang bukan titik puncak ke persamaan untuk memperoleh nilai a, lalu substitusikan nilai a yang telah diperoleh pada persamaannya.

Contoh 1:
Tentukan fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (1,2) dan melalui (0,3)!
Penyelesaian:
P(1,2) → x_e = 1 dan y_e = 2
Fungsi kuadrat tersebut adalah
y = a(x - x_e)² + y_e.
y = a(x - 1)² + 2 .... (1)
Melalui titik (0,3) ⇒ subtitusikan titik ini ke persamaan yang di peroleh, yaitu persamaan (1)
3 = a(0-1)² + 2
3 = a + 2 ⇒ a =1
subtitusikan nilai a = 1 ke persamaan (1), sehingga:
y = 1(x -1)² + 2
y = x² - 2x + 1 + 2
y = x² - 2x + 3.
Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = x² – 2x + 3.

3. Menentukan grafik fungsi kuadrat yang melalui 3 titik yang tidak segaris
jika grafik kuadratnya melalui 3 titik selain yang disebutkan diatas, maka untuk menentukan persamaan kuadratnya digunakan cara subtitusi dan eliminasi titik ke bentuk umum persamaan kuadrat, yaitu:

y = ax2 + bx + c

Contoh 1:
Tentukan fungsi kuadrat yang melaui titik-titik (0,3), (1,4) dan (2,9) !