Contoh Soal Persamaan Logaritma

no.1
Himpunan penyelesaian dari persamaan ³log²x - ³log x⁵ + ²log 16 = 0 adalah .....
A. {1, 4}
B. {2, 3}
C. {3, 81}
D. {9, 27}
E. {27, 81}

Penyelesaian.
³log²x - ³log x⁵ + ²log 16 = 0
(³log x - 4)(³log - 1) = 0
³log x - 4 =0 atau ³log x - 1 = 0
³log x = 4 atau ³log x = 1
x = 3⁴ = 81 atau x = 3


no. 2
jika 6(3⁴⁰)(²log a) + 3⁴¹(²log a) = 3⁴³, maka nilai ^alog 2 adalah ....
A. 1/8
B. 1/4
C. 1/3
D. 3
E. 8

Penyelesaian.
6(3⁴⁰)(²log a) + 3⁴¹(²log a) = 3⁴³
2(3⁴¹)(²log a) + 3⁴¹(²log a) = 3⁴¹3²
(2+1)(3^{41 2}log a) = 3⁴¹3^2
2log a = 3
^alog 3 = 1/3

no. 3
Jika log (2x + 10) = 2, nilai x adalah ....
A. 2
B. 7
C. 9
D. 45
E. 90

Penyelesaian.
log (2x + 10) = 2
log (2x + 10) = log 10²
2x + 10 = 100
2x = 90
x = 45

no. 4
Nilai x dari ½ log (x + 2) + log 5 = 1 adalah ....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Penyelesaian.
½ log (x + 2) + log 5 = 1
log (x + 2) + 2 log 5 = 2
log (x + 2) + log 5² = log 10²
log (x + 2).25 = log 100
(x + 2).25 = 100
x + 2 = 4
x = 4 – 2 = 2

no. 5
jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan (5 – 2.log x)log x = log 1000, maka x₁² + x₂² = ....
A. 0
B. 10
C. 100
D. 1000
E. 1100

Penyelesaian.
(5 – 2.log x)log x = log 1000
5 log x – 2 log²x = 3
2 log²x – 5 log x + 3 = 0
(2 log x – 3)(log x – 1) = 0
log x = 3/2 atau log x = 1
x = 10^3/2 atau x = 10
x₁² + x₂² = (10^3/2)² + 10² = 1000 + 100 = 1100

Read more...

Bukti sifat ke 7 dan 8 logaritma

Sifat 7
Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:

alog x · xlog y = alog y

Bukti:
misalkan
^alog x = p ⇔ a^p = x
^xlog y = q ⇔ x^q = y
Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh
y = x^q ⇔ y = (a^p)^q
⇔ y = a^pq
⇔ ^alog y = ^alog a^pq
⇔ ^alog y = pq. ^alog a
⇔ ^alog y = pq
⇔ ^alog y = ^alog x · ^xlog y
Jadi ^alog x · ^xlog y = ^alog y



Sifat 8
Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:

aalog x = x

Bukti:
^alog x = n ⇔ aⁿ = x
x = aⁿ ⇔ x = a^{alog x}
jadi a^{alog x} = x

Read more...

Menentukan Logaritma Berbasis 10 dengan Menggunakan Tabel Logaritma

Sebelum menentukan nilai logaritma dengan menggunakan tabel ini, Anda perlu memahami terlebih dahulu hal-hal yang berhubungan dengan tabel logaritma tersebut.
Logaritma suatu bilangan nilainya terdiri atas dua bagian, yaitu karakteristik (bilangan yang terletak di depan koma desimal) dan mantisa (bilangan yang terletak di belakang koma).
Contoh:


Dalam tabel logaritma terdapat kolom-kolom, kolom pertama (disebut kolom N). Dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangan yang berurutan mulai dari 0 sampai dengan 1000. Baris judul pada kolom kedua sampai dengan kolom kesebelas dari kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan angka 0,1,...,9.
Pada kolom-kolom tersebut dari atas ke bawah memuat mantisa, yang terdiri atas 4 angka (digit).
Besar karakteristik dari logaritma dapat ditentukan berdasarkan nilai numerusnya.
alog x = n
a. Jika 1 < x < 10 karakteristiknya 0
b. Jika 10 < x < 100 karakteristiknya 1
c. Jika 100 < x < 1000 karakteristiknya 2


Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan:
a. log 2,6;
b. log 2,65;
c. log 26,5;
d. log 265.
Jawab:
a. log 2,6 = 0,...

Perhatikan gambar di atas. Bagian desimalnya (mantisa) diperoleh dari pertemuan antara baris yang memuat angka 2 dan kolom yang memuat angka 6, yaitu 4150.
Jadi, log 2,6 = 0, 4150.

b. log 1,25 = 0,...

Bagian desimalnya (mantisa) diperoleh dari pertemuan antara baris
yang memuat angka 12 dan kolom yang memuat angka 5, yaitu 0969.
Jadi, log 1,25 = 0, 0969

c. log 12,5 = 1,...
Langkah yang dilakukan sama seperti pada bagian (b) tersebut. Jadi
log 12,5 = 1,0969.

d. log 125 = 2,...
Langkah yang dilakukan sama seperti pada bagian (b) dan (c) tersebut.
Jadi log 265 = 2,0969.


Untuk lebih memperjelas perhatikan contoh soal berikut:
Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan nilai dari:
a. log 0,471;
b. log 0,087;
c. log 0,00984.
Jawab:
a. log 0,471= log 4,71 × 10^–1
= log 4,71 + log 10^–1
= log 4,71 – 1
= 0,673 – 1
= –0,327

b. b. log 0,087= log 8,7 × 10–2
= log 8,7 + log 10^–2
= log 8,7 – 2
= 0,939 – 2
= –1,061

c. log 0,00984 = log 9,84 × 10^–3
= log 9,84 + log 10^–3
= log 9,84 – 3
= 0,993 – 3
= –2,007

Read more...