Pertidaksamaan Kuadrat dan Cara Menyelesaikannya

Suatu kalimat terbuka yang memuat variabel dengan pangkat positif dan memiliki pangkat tertinggi dua dihubungkan dengan tanda disebut pertidaksamaan kuadrat.
Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≤ 0
dengan a, b, dan c∈ R dan a ≠ 0.

Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat lebih mudah apabila menggunakan garis bilangan. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berbeda dengan menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear.
Pada pertidaksamaan linear, Anda dapat langsung menentukan daerah penyelesaian setelah memperoleh himpunan penyelesaiannya. Adapun pada pertidaksamaan kuadrat Anda harus menentukan daerahnya terlebih dahulu untuk dapat menentukan himpunan penyelesaiannya. Berikut ini beberapa langkah yang harus dipahami dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.

1. Nyatakan bantuk pertidaksamaan kuadrat dengan cara menjadikan ruas kanan sama dengan nol 
2. Tentukan akar-akar dari pertidakasamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus abc 
3. Tentukan nilai-nilai pembuat nol dari akar-akar petidaksamaan kuadrat pada tahap b. 
4. Gambarkanlah nilai-nilai pembuat nol yang diperoleh pada langkah 3 pada diagram garis bilangan 
5. Tentukanlah tanda di daerah sekitar pembuat nol, yaitu (+) dan (-) dengan cara menyubstitusikan nilai x yang lebih besar atau lebih kecil dari x₁ atau x₂. 
6. Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dilihat dari tanda pertidaksamaannya. Jika tandanya < atau ≤ maka daerah hasil yang dimaksud adalah daerah negatif. Dan jika tandanya > atau ≥ maka daerah hasil yang dimaksud adalah daerah negatif. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut dinyatakan dalam bentuk interval.

Contoh:
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x² –5x –14 ≤ 0,
untuk x∈ R.
Jawab:
x² –5x –14 ≤ 0
x² –5x –14 ≤ 0
(x –7) (x + 2) ≤ 0
x₁ = 7 x₁ = –2

Uji daerah penyelesaian dengan cara mengambil sembarang titik selain 7 dan -2. Misalnya kita akan mengambil nilai x = 0.
x = 0 ⇒ x² – 5x –14 = 0² – 5.0 – 14 = –14 (negatif)

pada garis bilangan diatas angka 0 berada diantara -2 dan 7, sehingga daerah diatara -2 sampai 7 bernilai negatif (-)

Karena x² –5x –14 ≤ 0, maka daerah yang kita ambil adalah yang bernilai negatif (-)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x | –2 ≤ x ≤ 7, x∈ R}.


2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
2x² + 5x + 15 < 3x² + 5x – 1, untuk x∈ R.
Jawab:
2x² + 5x + 15 < 3x2 + 5x –1
2x² + 5x + 15 –3x2 –5x + 1 < 0
–x² + 16 < 0
x² –16 > 0
(x – 4) (x + 4) > 0

x = 4 atau x = –4
Uji daerah penyelesaian dengan cara mengambil sembarang titik selain 7 dan -2. Misalnya kita akan mengambil nilai x = 0.
ambil x = 0 ⇒ x² –16 = 0² –16 = –16 (negatif)

Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | x < –4 atau x > 4, x ∈ R}.

3. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x² + 4x –12 ≤ 0, untuk x∈ R adalah ....
Jawab:
x² + 4x –12 ≤ 0
x² + 4x –12 ≤ 0
(x + 6) (x – 2) ≤ 0
x + 6 = 0 atau x – 2 = 0
x = – 6 atau x = 2
Uji daerah penyelesaian dengan cara mengambil sembarang titik selain 7 dan -2. Misalnya kita akan mengambil nilai x = 0.
ambil x = 0 ⇒ x² + 4x –12 = 0² + 4.0 –12 = –12 (negatif )

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | –6 ≤ x ≤ 2, x∈ R}

Read more...

Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dapat digambarkan pada garis bilangan, khususnya untuk himpunan penyelesaian berupa interval. Batas-batas interval digambarkan dengan menggunakan tanda bulatan penuh atau bulatan kosong. Tanda bulatan penuh menunjukkan bilangan tersebut termasuk ke dalam himpunan penyelesaian, dan tanda bulatan kosong menunjukkan bilangan tersebut tidak termasuk ke dalam himpunan penyelesaian.
Berikut ini beberapa bentuk dari interval yang sering dijumpai dalam pertidaksamaan.

Macam-macam Garis Bilangan Himpunan

Interval tertutup

{x | a ≤ x ≤ b, x∈R} = [a, b]


Interval setengah tertutup

{x | a ≤ x < b, x∈R} = [a, b)



{x | a < x ≤ b, x∈R} = (a, b]



Interval terbuka

{x | a < x < b, x∈R} = (a, b)



Interval setengah garis

{x | x ≥ a, x∈R} = [a, ∞)



{x | x > a, x∈R) = ( a, ∞)



{x | x ≤ a, x∈R) = (-∞, a]



{x | x < a, x∈ R) = (-∞, a)

contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dan garis bilangan dari 3x + 4 ≥ 2x - 5, untuk setiap x∈ R.
Penyelesaian:

a.	3x +4	≥ 2x –5
	3x – 2x + 4	≥ 2x –2x–5	(kedua ruas dikurangi 2x)
	x + 4	≥ –5
	x + 4 –4	≥ –5 –4	(kedua ruas dikurangi 4)
	x	≥ –9

Himpunan penyelesaian
{x | x ≥ –9 x∈ R}

Read more...

Pertidaksamaan Linear dan sifatnya

Pertidaksamaan linear adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, ≤ ,>, atau ≥, dan mengandung variabel dengan pangkat bilangan bulat positif dan pangkat tertingginya satu.
Bentuk umum dari pertidaksamaan linear :

ax + b > 0 ; ax + b ≥ 0 ax + b < 0 ; ax +b ≤ 0

dengan a, b ∈ R, a ≠ 0.


1. Sifat-Sifat Pertidaksamaan
a. Sifat tak negatif
Untuk a∈R maka a ≥ 0.

b. Sifat transitif
Untuk a, b, c∈R
jika a < b dan b < c maka a < c;
jika a > b dan b > c maka a > c.

c. Sifat penjumlahan
Untuk a, b, c∈R
jika a < b maka a + c < b + c;
jika a > b maka a + c > b + c.
Jika kedua ruas pertidaksamaan dijumlahkan dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda ketidaksamaan.

d. Sifat perkalian
Jika a < b, c > 0 maka ac < bc.
Jika a > b, c > 0 maka ac > bc.
Jika a < b, c < 0 maka ac > bc.
Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan bilangan (riil) positif tidak akan mengubah tanda ketidaksamaan, sedangkan jika dikalikan bilangan negatif akan mengubah tanda ketidaksamaan.

e. Sifat kebalikan
Jika a > 0 maka 1/a > 0.
Jika a < 0 maka 1/a < 0.
Suatu bilangan dan kebalikannya memiliki tanda yang sama baik untuk bilangan positif maupun negatif.


Contoh Soal
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
a. 3x + 4 ≥ 2x – 5
b. 2x – 6 ≤ 5x – 9

Jawab:

a.	3x +4	≥ 2x –5
	3x – 2x + 4	≥ 2x –2x–5	(kedua ruas dikurangi 2x)
	x + 4	≥ –5
	x + 4 –4	≥ –5 –4	(kedua ruas dikurangi 4)
	x	≥ –9
b.	2x –6	≤ 5x –9
	2x –5x –6	≤ 5x –5x –9	(kedua ruas dikurangi 5x)
	–3x –6	≤ –9
	–3x –6 + 6	≤ –9 + 6	(kedua ruas ditambah 6)
	–3x	≤ –3	(kedua ruas dibagi –3)
	x	≥ 1

Read more...