Persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (a,b) dan berjari-jari r dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.


Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x (perhatikan gambar diatas). Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segitiga siku-siku di dengan AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran).

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada segitiga siku-siku AP’P, diperoleh :
AP² = (AP’)² + (PP’)²
r² = (x – a)² + (y – b)²
(x – a)² + (y – b)² = r²

Dengan demikian, Persamaan lingkaran yang berpusat di titik A(a,b) dan jari-jari r adalah:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, –1) dan berjari-jari 5 satuan.
Jawab:
(x – a)² + (y – b)² = r²
(x – 3)² + (y – (–1))² = 5²
(x – 3)² + (y + 1)² = 25

Contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (1, 3) dan melalui (4, 2).
Jawab:
Karena jari-jari lingkarannya belum ada, maka langkah pertama harus menentukan jari-jarinya lebih dulu, dengan subtitusi titik ke persamaan.
(x – a)² + (y – b)² = r²
(4 – 1)² + (2 – 3)² = r²
(3)² + (1)² = r²
9 + 1 = r²
r² = 10
Sehingga persamaan lingkarannya adalah:
(x – 1)² + (y – 3)² = 10

Read more...

Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0)


Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari r dapat diperoleh menggunakan teorema Phytagoras. Perhatikan gambar berikut ini.


Misalkan titik A(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran yang berpusat di titik asal O. Dengan menarik garis melalui titik A dan tegak lurus sumbu x, maka akan didapatkan suatu segitiga siku-siku.


Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada Δ diatas, maka
r = |OA|
r² = x² + y²
x² + y² = r²
Dengan demikian, Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan jari-jari r adalah :

x2 + y2 = r2

untuk lebih memperjelas, perhatikan contoh soal dibawah ini.

contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari 4

jawab:
x² + y² = r²
x² + y² = 4²
x² + y² = 16


contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (1,3)

jawab:
Karena jari-jari lingkarannya belum diketahui, maka langkah pertama kita harus mencari jari-jari lingkarannya dengan cara mensubtitusikan titik (1,3) ke persamaan lingkarannya. sehingga
x² + y² = r²
1² + 3² = r²
1 + 9 = r²
r² = 10
dengan demikian, maka persamaan lingkarannya adalah:
x² +y² = 10


contoh 3:
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang mempunyai persamaan x² + y² = 9

jawab:
x² + y² = 9
x² + y² = 3²
dengan demikian maka
Pusat (0,0) dan r = 3

Read more...

Menentukan persamaan fungsi kuadrat

c. Menentukan persamaan fungsi kuadrat
Pada materi sebelumnya telah dibahas langkah-langkah untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat, apabila fungsi kuadratnya diketahui. Sebaliknya, bagaimana cara untuk menentukan fungsi kuadrat jika grafiknya diketahui?
Untuk menjawab pertanyaan diatas, simak penjelasan dibawah ini.

Ada beberapa cara yang dapat digunakan Untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat, yaitu:

1.	Jika grafik fungsi kuadratnya memotong sumbu x di titik (x1, 0) dan (x2, 0) maka persamaanya
	y = a(x – x1 )(x – x2 )
2.	Jika grafik fungsi kuadratnya mempunyai titik balik (xe, ye), maka persamaannya
	y = a(x–xe)2 + ye
3.	jika grafik kuadratnya melalui 3 titik selain yang disebutkan diatas, maka untuk menentukan persamaan
	kuadratnya digunakan cara subtitusi dan eliminasi titik ke bentuk umum persamaan kuadrat, yaitu:
	y= ax2 + bx + c

oke mari kita bahas satu-persatu
1. Menentukan grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x
Untuk grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di titik (x₁, 0) dan (x₂, 0) maka persamaannya

y = a(x – x1 ) (x – x2 )

Kemudian substitusikan salah satu titik yang tidak terletak pada sumbu x ke persamaan untuk memperoleh nilai a, lalu substitusikan nilai a yang telah diperoleh pada persamaannya.

Contoh 1:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (–1,0) dan
(3,0) serta melalui titik (1,8)!
Penyelesaian:
grafiknya memotong sumbu x di titik
sehingga x₁ = – 1 dan x₂ = 3

Fungsi kuadrat tersebut adalah
y = a(x – x₁ ) (x – x₂ )
y = a(x – (– 1) ) (x – 3 )
y = a(x + 1)(x – 3) ......... (1)
Melalui titik (1,8) ⇒ subtitusikan titik ini ke persamaan yang di peroleh, yaitu persamaan (1)
y = a(x + 1)(x – 3)
8 = a(1 + 1)(1– 3)
8 = a (2). (–2)
8 = a(–4)
a = –2
subtitusikan nilai a = –2 ke persamaan (1), sehingga:
y = –2(x + 1)(x – 3)
y = – 2(x² – 2x – 3)
y = – 2x² + 4x + 6.
Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = –2x² + 4x + 6.

Contoh 1:
Tentukan fungsi kuadrat di bawah ini:


Jawab:
Grafik fungsi kuadrat diatas memotong sumbu x di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik (0,3). sehingga diketahui:
x₁ = 1 dan x₂ = 3
Fungsi kuadrat tersebut adalah
y = a(x – x₁ ) (x – x₂ )
y = a(x – 1 ) (x – 3 ) ......... (1)
Melalui titik (0,3) ⇒ subtitusikan titik ini ke persamaan yang di peroleh, yaitu persamaan (1)
y = a(x – 1)(x – 3)
3 = a(0 – 1)(0 – 3)
3 = a (–1). (–3)
3 = a(3)
a = 1
subtitusikan nilai a = 1 ke persamaan (1), sehingga:
y = 1(x – 1)(x – 3)
y = (x² – 4x + 3)
Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = x² – 4x + 3.

2. Menentukan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (x_e,y_e)
Jika grafik fungsi kuadrat mempunyai titik puncak (x_e,y_e) maka persamaan yang digunakan adalah

y = a(x–xe)2 + ye

Kemudian substitusikan titik yang bukan titik puncak ke persamaan untuk memperoleh nilai a, lalu substitusikan nilai a yang telah diperoleh pada persamaannya.

Contoh 1:
Tentukan fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (1,2) dan melalui (0,3)!
Penyelesaian:
P(1,2) → x_e = 1 dan y_e = 2
Fungsi kuadrat tersebut adalah
y = a(x - x_e)² + y_e.
y = a(x - 1)² + 2 .... (1)
Melalui titik (0,3) ⇒ subtitusikan titik ini ke persamaan yang di peroleh, yaitu persamaan (1)
3 = a(0-1)² + 2
3 = a + 2 ⇒ a =1
subtitusikan nilai a = 1 ke persamaan (1), sehingga:
y = 1(x -1)² + 2
y = x² - 2x + 1 + 2
y = x² - 2x + 3.
Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = x² – 2x + 3.

3. Menentukan grafik fungsi kuadrat yang melalui 3 titik yang tidak segaris
jika grafik kuadratnya melalui 3 titik selain yang disebutkan diatas, maka untuk menentukan persamaan kuadratnya digunakan cara subtitusi dan eliminasi titik ke bentuk umum persamaan kuadrat, yaitu:

y = ax2 + bx + c

Contoh 1:
Tentukan fungsi kuadrat yang melaui titik-titik (0,3), (1,4) dan (2,9) !

Read more...

Cara menggambar Fungsi Kuadrat

a. Pengertian fungsi kuadrat
Suatu fungsi dalam himpunan bilangan yang dinyatakan dengan rumus fungsi
y = f(x) = ax² + bx +c dengan a, b, c, Î R dan a ¹ 0 disebut fungsi kuadarat dalam x.
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris.


b. Sketsa grafik fungsi kuadrat
Langka -langkah membuat sketsa grafik fungsi kuadrat fungsi kuadrat :
1. Menentukan titik potong dengan sumbu x, → y = 0 (jika ada)
2. Menentukan titik potong dengan sumbu y, → x = 0 (jika ada)
3. Menentukan persamaan sumbu simetri x_e

4. Mentukan titik puncak atau koordinat titik balik (x_e, y_e)

5. Titik Bantu
- Jika a > 0 grafik terbuka ke atas, maka parabola memiliki nilai minimum
- Jika a < 0 grafik terbuka ke bawah, maka parabola memiliki nilai maksimum

Contoh:
Sketsalah grafik fungsi kuadrat y = x² – 4x + 5 !

Jawab:

1.	Titik potong dengan sumbu x → y = 0
	x2 – 4x + 5 = 0 (tidak mempunyai titik potong karena D < 0)
2.	Titik potong dengan sumbu y → x = 0
	x = 0 → y = 5 …. (0,5)
3.	Sumbu simetri x
4.	Mentukan titik puncak atau koordinat titik balik (xe, ye)
	Titik puncak koordinat (2,1)
5.	Titik Bantu
	Dari titik bantu diatas dapat kita buat sketsa fungsi kuadratnya, seperti gambar dibawah ini

Read more...

Fungsi kuadrat berbentuk y=ax^2 + bx + c

Bentuk umum fungsi kuadrat ditulis dalam:

y = ax2 + bx + c

Salah satu cara untuk menentukan unsur utama fungsi kuadrat, yaitu sumbu simetri dan puncak, adalah dengan mengubah ke bentuk umum fungsi kuadrat menjadi bentuk y = a(x-p)² + k dengan rumus kuadrat sempurna.
Perhatikan skema berikut !


Contoh 1
Ubahlah persamaan berikut ke bentuk y = a(x-p)² +k !
1. y = x² + 4x +1
2. y = 4x² + 8x +5
Jawaban

1.	y = x2 + 4x + 1
	y =(x2 + 4x) + 1
	y = (x + 2)2 – 4 + 1
	y = (x + 2)2 – 3
2.	y = 4x2 + 8x + 5
	y = 4(x2 + 2x) + 5
	y = 4(x + 1)2 – 4 + 5
	y = 4(x + 1)2 + 1

Contoh 2
Diketahui fungsi kuadrat y = 2x² + 4x +5 , tetukan puncak dan sumbu simetrinya
Jawab :

	y = 2x2 + 4x + 5
	y = 2(x2 + 2x) + 5
	y = 2(x + 1)2 – 2 + 5
	y = 2(x + 1)2 + 3

p = -1 atau k = 3 , Puncak (p,k ) --> P(-1,3) ,
Sumbu simetri x = p --> x = -1 ,

Read more...

Pertidaksamaan Kuadrat dan Cara Menyelesaikannya

Suatu kalimat terbuka yang memuat variabel dengan pangkat positif dan memiliki pangkat tertinggi dua dihubungkan dengan tanda disebut pertidaksamaan kuadrat.
Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≤ 0
dengan a, b, dan c∈ R dan a ≠ 0.

Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat lebih mudah apabila menggunakan garis bilangan. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berbeda dengan menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear.
Pada pertidaksamaan linear, Anda dapat langsung menentukan daerah penyelesaian setelah memperoleh himpunan penyelesaiannya. Adapun pada pertidaksamaan kuadrat Anda harus menentukan daerahnya terlebih dahulu untuk dapat menentukan himpunan penyelesaiannya. Berikut ini beberapa langkah yang harus dipahami dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.

1. Nyatakan bantuk pertidaksamaan kuadrat dengan cara menjadikan ruas kanan sama dengan nol 
2. Tentukan akar-akar dari pertidakasamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus abc 
3. Tentukan nilai-nilai pembuat nol dari akar-akar petidaksamaan kuadrat pada tahap b. 
4. Gambarkanlah nilai-nilai pembuat nol yang diperoleh pada langkah 3 pada diagram garis bilangan 
5. Tentukanlah tanda di daerah sekitar pembuat nol, yaitu (+) dan (-) dengan cara menyubstitusikan nilai x yang lebih besar atau lebih kecil dari x₁ atau x₂. 
6. Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dilihat dari tanda pertidaksamaannya. Jika tandanya < atau ≤ maka daerah hasil yang dimaksud adalah daerah negatif. Dan jika tandanya > atau ≥ maka daerah hasil yang dimaksud adalah daerah negatif. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut dinyatakan dalam bentuk interval.

Contoh:
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x² –5x –14 ≤ 0,
untuk x∈ R.
Jawab:
x² –5x –14 ≤ 0
x² –5x –14 ≤ 0
(x –7) (x + 2) ≤ 0
x₁ = 7 x₁ = –2

Uji daerah penyelesaian dengan cara mengambil sembarang titik selain 7 dan -2. Misalnya kita akan mengambil nilai x = 0.
x = 0 ⇒ x² – 5x –14 = 0² – 5.0 – 14 = –14 (negatif)

pada garis bilangan diatas angka 0 berada diantara -2 dan 7, sehingga daerah diatara -2 sampai 7 bernilai negatif (-)

Karena x² –5x –14 ≤ 0, maka daerah yang kita ambil adalah yang bernilai negatif (-)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x | –2 ≤ x ≤ 7, x∈ R}.


2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
2x² + 5x + 15 < 3x² + 5x – 1, untuk x∈ R.
Jawab:
2x² + 5x + 15 < 3x2 + 5x –1
2x² + 5x + 15 –3x2 –5x + 1 < 0
–x² + 16 < 0
x² –16 > 0
(x – 4) (x + 4) > 0

x = 4 atau x = –4
Uji daerah penyelesaian dengan cara mengambil sembarang titik selain 7 dan -2. Misalnya kita akan mengambil nilai x = 0.
ambil x = 0 ⇒ x² –16 = 0² –16 = –16 (negatif)

Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | x < –4 atau x > 4, x ∈ R}.

3. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x² + 4x –12 ≤ 0, untuk x∈ R adalah ....
Jawab:
x² + 4x –12 ≤ 0
x² + 4x –12 ≤ 0
(x + 6) (x – 2) ≤ 0
x + 6 = 0 atau x – 2 = 0
x = – 6 atau x = 2
Uji daerah penyelesaian dengan cara mengambil sembarang titik selain 7 dan -2. Misalnya kita akan mengambil nilai x = 0.
ambil x = 0 ⇒ x² + 4x –12 = 0² + 4.0 –12 = –12 (negatif )

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | –6 ≤ x ≤ 2, x∈ R}

Read more...

Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dapat digambarkan pada garis bilangan, khususnya untuk himpunan penyelesaian berupa interval. Batas-batas interval digambarkan dengan menggunakan tanda bulatan penuh atau bulatan kosong. Tanda bulatan penuh menunjukkan bilangan tersebut termasuk ke dalam himpunan penyelesaian, dan tanda bulatan kosong menunjukkan bilangan tersebut tidak termasuk ke dalam himpunan penyelesaian.
Berikut ini beberapa bentuk dari interval yang sering dijumpai dalam pertidaksamaan.

Macam-macam Garis Bilangan Himpunan

Interval tertutup

{x | a ≤ x ≤ b, x∈R} = [a, b]


Interval setengah tertutup

{x | a ≤ x < b, x∈R} = [a, b)



{x | a < x ≤ b, x∈R} = (a, b]



Interval terbuka

{x | a < x < b, x∈R} = (a, b)



Interval setengah garis

{x | x ≥ a, x∈R} = [a, ∞)



{x | x > a, x∈R) = ( a, ∞)



{x | x ≤ a, x∈R) = (-∞, a]



{x | x < a, x∈ R) = (-∞, a)

contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dan garis bilangan dari 3x + 4 ≥ 2x - 5, untuk setiap x∈ R.
Penyelesaian:

a.	3x +4	≥ 2x –5
	3x – 2x + 4	≥ 2x –2x–5	(kedua ruas dikurangi 2x)
	x + 4	≥ –5
	x + 4 –4	≥ –5 –4	(kedua ruas dikurangi 4)
	x	≥ –9

Himpunan penyelesaian
{x | x ≥ –9 x∈ R}

Read more...

Pertidaksamaan Linear dan sifatnya

Pertidaksamaan linear adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, ≤ ,>, atau ≥, dan mengandung variabel dengan pangkat bilangan bulat positif dan pangkat tertingginya satu.
Bentuk umum dari pertidaksamaan linear :

ax + b > 0 ; ax + b ≥ 0 ax + b < 0 ; ax +b ≤ 0

dengan a, b ∈ R, a ≠ 0.


1. Sifat-Sifat Pertidaksamaan
a. Sifat tak negatif
Untuk a∈R maka a ≥ 0.

b. Sifat transitif
Untuk a, b, c∈R
jika a < b dan b < c maka a < c;
jika a > b dan b > c maka a > c.

c. Sifat penjumlahan
Untuk a, b, c∈R
jika a < b maka a + c < b + c;
jika a > b maka a + c > b + c.
Jika kedua ruas pertidaksamaan dijumlahkan dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda ketidaksamaan.

d. Sifat perkalian
Jika a < b, c > 0 maka ac < bc.
Jika a > b, c > 0 maka ac > bc.
Jika a < b, c < 0 maka ac > bc.
Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan bilangan (riil) positif tidak akan mengubah tanda ketidaksamaan, sedangkan jika dikalikan bilangan negatif akan mengubah tanda ketidaksamaan.

e. Sifat kebalikan
Jika a > 0 maka 1/a > 0.
Jika a < 0 maka 1/a < 0.
Suatu bilangan dan kebalikannya memiliki tanda yang sama baik untuk bilangan positif maupun negatif.


Contoh Soal
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
a. 3x + 4 ≥ 2x – 5
b. 2x – 6 ≤ 5x – 9

Jawab:

a.	3x +4	≥ 2x –5
	3x – 2x + 4	≥ 2x –2x–5	(kedua ruas dikurangi 2x)
	x + 4	≥ –5
	x + 4 –4	≥ –5 –4	(kedua ruas dikurangi 4)
	x	≥ –9
b.	2x –6	≤ 5x –9
	2x –5x –6	≤ 5x –5x –9	(kedua ruas dikurangi 5x)
	–3x –6	≤ –9
	–3x –6 + 6	≤ –9 + 6	(kedua ruas ditambah 6)
	–3x	≤ –3	(kedua ruas dibagi –3)
	x	≥ 1

Read more...

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Pada saat pertama kali kita belajar persamaan kuadrat, suatu persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dapat kita faktorkan menjadi a(x - α)(x - β)=0, dengan α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat.
Nah, sekarang kita akan menyusun atau menentukan persamaan kuadrat yang diketahui bentuk akar-akar persamaannya.

Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-Akarnya
Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x₁ dan x₂ maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk:

(x – x1) (x – x2) = 0

contoh 1.:
Susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya –2 dan 3
penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar-akar –2 dan 3, maka
x₁ = –2 dan x₂ = 3
dengan demikian:
(x – x₁) (x – x₂) = 0
(x – (–2)) (x – 3) = 0
(x + 2) (x – 3) = 0
x² – 3x + 2x – 6 = 0
x² – x – 6 = 0, yaitu dengan menganggap a = 1

contoh 2.:
Susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya -3 dan 3
penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar-akar -3 dan 3, maka
x₁ = -3 dan x₂ = 3
dengan demikian:
(x – x₁) (x – x₂) = 0
(x – (–3)) (x – 3) = 0
(x + 3) (x – 3) = 0
x² – 3x + 3x – 9 = 0
x² – 9 = 0, yaitu dengan menganggap a = 1

Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akarnya
Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x₁ dan x₂, dan diketahui (x₁ + x₂) dan (x₁.x₂) maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk

x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

Bentuk persamaan tersebut dapat digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat baru jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat baru berhubungan dengan persamaan kuadrat yang lain.

Contoh Soal:
contoh 3.:
1. Tentukan persamaan kuadrat dengan rumus yang akar-akarnya 1 dan –4
penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar-akar 1 dan -4, maka
x₁ = 1 dan x₂ = -4
dengan demikian:
x² -(x₁ + x₂)x+ x₁.x₂ = 0
x² -(1 + (-4))x+ 1.(-4) = 0
x² - (-3)x - 4 = 0
x² + 3x - 4 = 0

2. Tentukan persamaan kuadrat dengan rumus yang akar-akarnya 3 dan −1/2
penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar-akar 3 dan -1/2, maka

sehingga persamaan kuadratnya adalah


3. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan 3x² – 4x + 2 = 0
Jawab:
Misalkan, x adalah akar dari persamaan kuadrat 3x² – 4x + 2 = 0, sedangkan persamaan kuadrat baru memiliki akar-akar a, maka
a = x + 2 ⇔ x = a – 2
Substitusikan x = a – 2 ke dalam persamaan kuadrat semula sehingga
diperoleh:
3x² – 4x + 2 = 0
3 (a – 2)² – 4 (a – 2) + 2 = 0
3 (a² – 4a + 4) – 4a + 8 + 2 = 0
3a² – 12a + 12 – 4a + 10 = 0
3a² – 16a + 22 = 0
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah 3a² – 16a + 22 = 0 atau dapat juga dinyatakan dalam bentuk 3x² – 16x + 22 = 0.


4. Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 mempunyai akar x₁ dan x₂. Jika x₁ + x₂ = 3 dan x₁.x₂= –1/2, persamaan kuadrat tersebut adalah

penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki
x₁ + x₂ = 3
x₁.x₂ = -1/2
dengan demikian:
x² -(x₁ + x₂)x+ x₁.x₂ = 0
x² -(3)x - 1/2 = 0
x² - 3x - 1/2 = 0
2x² - 6x - 1 = 0


5. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat x² – 8x – 2 = 0 adalah x₁ dan x₂. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x₁/x₂ dan x₂/x₁

penyelesaian:
x² – 8x – 2 = 0
Dengan nilai a = 1, b = –8, c = –2 maka

Misalkan, akar-akar persamaan kuadrat barunya adalah α dan β


Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah:
x² – (α + β)x + (α.β) = 0
x² – (–34)x + 1 = 0
x² + 34x + 1 = 0.

Read more...

Bukti sifat ke 7 dan 8 logaritma

Sifat 7
Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:

alog x · xlog y = alog y

Bukti:
misalkan
^alog x = p ⇔ a^p = x
^xlog y = q ⇔ x^q = y
Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh
y = x^q ⇔ y = (a^p)^q
⇔ y = a^pq
⇔ ^alog y = ^alog a^pq
⇔ ^alog y = pq. ^alog a
⇔ ^alog y = pq
⇔ ^alog y = ^alog x · ^xlog y
Jadi ^alog x · ^xlog y = ^alog y



Sifat 8
Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:

aalog x = x

Bukti:
^alog x = n ⇔ aⁿ = x
x = aⁿ ⇔ x = a^{alog x}
jadi a^{alog x} = x

Read more...

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari cara mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan berbagai cara. Jika akar-akar persamaan kuadrat telah kita peroleh maka dengan mudah kita dapat mencari hasil kali dan jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Lalu, Bagaimana halnya jika akar-akar persamaan kuadratnya belum diperoleh, dan kita akan mencari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat? Bisakah kita menentukan hasil jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tanpa harus mencari akar-akarnya?
Jawabannya adalah “Bisa”.
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara berikut ini.
Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 memiliki akar-akar x₁, x₂ sebagai berikut:


Maka jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah:

Jadi, rumus hasil jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah:


Sedangkan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah:

Jadi, rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah:


Contoh Soal:
Jika x₁, x₂ merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat 2x² + 4x – 14 = 0, tentukan nilai dari:

Penyelesaian :

Read more...

Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Nilai Diskriminan

Pada pembahasan sebelumnya telah diperoleh cara mencari akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 (a, b dan c ∈ riil) yaitu dengan menggunakan rumus abc:

Pada rumus tersebut terdapat bentuk (b² – 4ac) yang disebut diskriminan (D). Dengan menggunakan diskriminan (D = b² – 4ac), dapat ditentukan jenis akar-akar dari persamaan kuadrat, yaitu:

a.	Jika D > 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai 2 akar riil yang berlainan.
	Jika D berbentuk kuadrat sempurna dan D ≠ 0 maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar riil berlainan dan rasional jika a, b, dan c bilangan rasional
	Jika D bukan bentuk kuadrat sempurna dan D ≠ 0 maka memiliki 2 akar riil berlainan dan irasional
b.	Jika D < 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar riil.
c.	Jika D = 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki 2 akar riil yang sama.

Contoh:
Dengan menentukan nilai Diskriminan, tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut:
a. 2x² + 3x – 14 = 0
b. 3x² – 5x + 2 = 0
c. 2x² + 3x + 4 = 0
d. 4x² – 12x + 9 = 0

Jawab:
a. 2x² + 3x – 14 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 3, c = –14 maka

D	= 32 – 4 ・ 2 ・ (–14)
	= 9 + 112 = 121

Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 2x² + 3x – 14 = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda.

b. 3x² – 5x + 2 = 0
Dengan nilai a = 3, b = –5, c = 1 maka

D	= (–5)2 – 4 ・ 3 ・ 2
	= 25 – 24 = 1

Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 3x² – 5x + 2 = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda.

c. 2x² + 3x + 4 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 3, c = 4 maka

D	= 32 – 4 ・ 2 ・ 4
	= 9 – 32 = –23

Oleh karena D < 0 maka persamaan kuadrat 2x² + 3x + 4 = 0 tidak mempunyai akar riil.

d. 4x² – 12x + 9 = 0
Dengan nilai a = 4, b = –12, c = 9 maka

D	= (–12)2 – 4 ・ 4 ・ 9
	= 144 – 144 = 0

Oleh karena D = 0 maka persamaan kuadrat 4x² – 12x + 9 = 0 mempunyai 2 akar kembar.

Read more...

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat (Bagian 2)

Seperti janji saya pada postingan sebelumnya. Kali ini kita akan membahas tentang Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan cara melengkapi kuadrat sempurna





Menentukan akar- akar Persamaan dengan Menyempurnakan Kuadrat
tidak semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran, misalnya x² – 6x + 2 = 0. Persamaan kuadrat semacam ini dapat diselesaikan dengan cara melengkapi kuadrat sempurna, yaitu mengubah bentuk persamaan ax² + bx + c = 0 dengan beberapa tahap, yaitu sebagai berikut.
1) Pisahkan konstanta atau pindahkan konstanta ke ruas kanan.
ax² + bx = - c
2) Jika a ≠ 1, bagi kedua ruas dengan a.

3) Tambahkan pada kedua ruas kuadrat dari ½ kali koefisien x.

4) Nyatakan dalam bentuk kuadrat sempurna pada ruas kiri.

5) Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat sempurna di atas dengan menarik akar pada kedua ruas.


Contoh:
Dengan melengkapkan kuadrat, tentukanlah himpunan penyelesaian untuk persamaan kuadrat di bawah ini:
a. x² – 4x + 2 = 0
b. x² + 6x – 1 = 0
c. 2x² – 5x – 4 = 0
d. 3x² + 2x – 6 = 0
Jawab:
a. x² – 4x + 2 = 0

x2 – 4x	=	–2
x2 – 4x + (–4/2)2	=	–2 + (–4/2)2
x2 – 4x + 4	=	–2 + 4
(x – 2)2	=	2
x – 2	=	± √2
x	=	2 ± √2

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2+√2, 2–√2}

b. x² + 6x – 1 = 0

x2 + 6x	=	1
x2 + 6x + (6/2)2	=	1 + (6/2)2
x2 + 6x + 9	=	1 + 9
(x + 3)2	=	10
x + 3	=	± √10
x	=	–3 ± √10

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {–3+√10, –3–√10}

c. 2x² – 5x – 4 = 0


d. 3x² + 2x –6 = 0




Menentukan akar- akar Persamaan dengan Menggunakan Rumus abc
Masih ingat cara menentukan akar-akar persamaan dengan melengkapi kuadrat sempurna?? Nah, rumus abc ini berawal dari cara tersebut.
Pada saat kita menyelesaikan persamaan ax² + bx + c = 0 dengan melengkapi kuadrat sempurna ( yang telah kita bahas sebelumnya), didapatkan penyelesaian berikut

Rumus diatas dapat juga ditulis dalam bentuk:


Contoh:
Dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus abc), tentukanlah himpunan penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini:
a. x² – 4x + 2 = 0
b. 2x² – 5x – 6 = 0
jawab:
a. x² – 4x + 5 = 0
dari persamaan diatas, diketahui nilai a=1, b= -4 dan c=2. Sehingga:


b. 2x² – 5x – 6 = 0
dari persamaan diatas, diketahui nilai a=2, b= -5 dan c=2. Sehingga:

Read more...