Contoh Soal Persamaan Logaritma

no.1
Himpunan penyelesaian dari persamaan ³log²x - ³log x⁵ + ²log 16 = 0 adalah .....
A. {1, 4}
B. {2, 3}
C. {3, 81}
D. {9, 27}
E. {27, 81}

Penyelesaian.
³log²x - ³log x⁵ + ²log 16 = 0
(³log x - 4)(³log - 1) = 0
³log x - 4 =0 atau ³log x - 1 = 0
³log x = 4 atau ³log x = 1
x = 3⁴ = 81 atau x = 3


no. 2
jika 6(3⁴⁰)(²log a) + 3⁴¹(²log a) = 3⁴³, maka nilai ^alog 2 adalah ....
A. 1/8
B. 1/4
C. 1/3
D. 3
E. 8

Penyelesaian.
6(3⁴⁰)(²log a) + 3⁴¹(²log a) = 3⁴³
2(3⁴¹)(²log a) + 3⁴¹(²log a) = 3⁴¹3²
(2+1)(3^{41 2}log a) = 3⁴¹3^2
2log a = 3
^alog 3 = 1/3

no. 3
Jika log (2x + 10) = 2, nilai x adalah ....
A. 2
B. 7
C. 9
D. 45
E. 90

Penyelesaian.
log (2x + 10) = 2
log (2x + 10) = log 10²
2x + 10 = 100
2x = 90
x = 45

no. 4
Nilai x dari ½ log (x + 2) + log 5 = 1 adalah ....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Penyelesaian.
½ log (x + 2) + log 5 = 1
log (x + 2) + 2 log 5 = 2
log (x + 2) + log 5² = log 10²
log (x + 2).25 = log 100
(x + 2).25 = 100
x + 2 = 4
x = 4 – 2 = 2

no. 5
jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan (5 – 2.log x)log x = log 1000, maka x₁² + x₂² = ....
A. 0
B. 10
C. 100
D. 1000
E. 1100

Penyelesaian.
(5 – 2.log x)log x = log 1000
5 log x – 2 log²x = 3
2 log²x – 5 log x + 3 = 0
(2 log x – 3)(log x – 1) = 0
log x = 3/2 atau log x = 1
x = 10^3/2 atau x = 10
x₁² + x₂² = (10^3/2)² + 10² = 1000 + 100 = 1100

Read more...

Persamaan lingkaran dengan Pusat(2,1) menyinggung garis x + y - 6 =0

Seperti janji saya waktu menjawab pertanyaan di yahoo answer, maka kali ini saya akan sedikit membahas soal tentang lingkaran. Berikut soal sekaligus pembahasannya...

Tentukan persamaan lingkaran yg pusatnya di titik (2,1) menyinggung garis x + y - 6 =0

Penyelesaian:
Lingkaran dengan Pusat(2,1)menyinggung garis x + y - 6 =0
Untuk lebih memperjelas perhatikan gambar dibawah ini.

karena menyinggung garis x + y - 6 =0 , maka jari-jarinya adalah jarak titik pusat ke garis (ingat Rumus jarak ke garis).


sehingga persamaan lingkarannya adalah:
(x - 2)² + (y - 1)² = (3/√2)²
(x - 2)² + (y - 1)² = 9/2
x² - 4x + 4 + y² - 2y + 1 = 9/2
x² + y² - 4x - 2y + 5 = 9/2
2x² + 2y² - 8x - 4y + 10 = 9
2x² + 2y² - 8x - 4y + 1 = 0

Read more...

Bentuk umum Persamaan Lingkaran

Pada pembahasan sebelumnya kita telah mengetahui persamaan lingkaran yang berpusat di titik A(a,b) dan jari-jari r adalah:
(x – a)² + (y – b)² = r²
Pada kesempatan kali ini, kita akan mengubah persamaan bentuk diatas menjadi bentuk umum persamaan lingkaran, dengan cara menguraikan persamaan kedalam bentuk aljabar. Untuk lebih memperjelas, perhatikan uraian berikut ini
(x – a)² + (y – b)² = r²
x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = r²
x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0
x² + y² + (– 2a)x + (– 2b)y + (a² + b² – r² ) = 0 ...... (1)
untuk mempermudah perhitungan, persamaan diatas dapat kita ubah menjadi bentuk yang lebih sederhana, dengan memisalkan A = – 2a, B = – 2b dan C = a² + b² – r² , sehingga bentuk persamaan diatas dapat pula dituliskan dalam bentuk:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ..... (2)

dengan membandingkan bentuk persamaan (1) dan (2) diatas, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah sebagai berikut:


dengan demikian maka pusat dan jari-jari lingkaran pada bentuk persamaan umum diatas adalah:


Contoh:
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang mempunyai persamaan x² + y² + 10x – 8y – 8 =0.
Penyelesaian:
x² + y² + 10x – 8y – 8 =0.
persamaan diatas mempunyai nilai A = 10, B = –8 dan C = –8
Sehingga Pusat lingkarannya adalah: (-5, 4) dan jari-jarinya adalah

Read more...

Cara Menentukan Nilai integral dari (ln x)/x

Tentukan nilai dari : ∫ (ln x)/x dx

Untuk menentukan nilai integral bentuk ini, pertama-tama ubah nilai dari tan x menjadi bentuk (sin x/cos x), sehingga



Misalkan:


subtitusikan nilai -du=sin x, u=cos x ke persamaan


hasil diatas masih bisa kita ubah menjadi bentuk lain yaitu:

∫tan x dx	=	-ln |cos x|+C
	=	ln |(cos x)-1 |+C
	=	ln |sec x|+C

Sehingga

∫tan x dx = -ln |cos x|+ C = ln |sec x| + C

Read more...

Persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (a,b) dan berjari-jari r dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.


Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x (perhatikan gambar diatas). Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segitiga siku-siku di dengan AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran).

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada segitiga siku-siku AP’P, diperoleh :
AP² = (AP’)² + (PP’)²
r² = (x – a)² + (y – b)²
(x – a)² + (y – b)² = r²

Dengan demikian, Persamaan lingkaran yang berpusat di titik A(a,b) dan jari-jari r adalah:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, –1) dan berjari-jari 5 satuan.
Jawab:
(x – a)² + (y – b)² = r²
(x – 3)² + (y – (–1))² = 5²
(x – 3)² + (y + 1)² = 25

Contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (1, 3) dan melalui (4, 2).
Jawab:
Karena jari-jari lingkarannya belum ada, maka langkah pertama harus menentukan jari-jarinya lebih dulu, dengan subtitusi titik ke persamaan.
(x – a)² + (y – b)² = r²
(4 – 1)² + (2 – 3)² = r²
(3)² + (1)² = r²
9 + 1 = r²
r² = 10
Sehingga persamaan lingkarannya adalah:
(x – 1)² + (y – 3)² = 10

Read more...

Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0)


Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari r dapat diperoleh menggunakan teorema Phytagoras. Perhatikan gambar berikut ini.


Misalkan titik A(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran yang berpusat di titik asal O. Dengan menarik garis melalui titik A dan tegak lurus sumbu x, maka akan didapatkan suatu segitiga siku-siku.


Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada Δ diatas, maka
r = |OA|
r² = x² + y²
x² + y² = r²
Dengan demikian, Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan jari-jari r adalah :

x2 + y2 = r2

untuk lebih memperjelas, perhatikan contoh soal dibawah ini.

contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari 4

jawab:
x² + y² = r²
x² + y² = 4²
x² + y² = 16


contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (1,3)

jawab:
Karena jari-jari lingkarannya belum diketahui, maka langkah pertama kita harus mencari jari-jari lingkarannya dengan cara mensubtitusikan titik (1,3) ke persamaan lingkarannya. sehingga
x² + y² = r²
1² + 3² = r²
1 + 9 = r²
r² = 10
dengan demikian, maka persamaan lingkarannya adalah:
x² +y² = 10


contoh 3:
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang mempunyai persamaan x² + y² = 9

jawab:
x² + y² = 9
x² + y² = 3²
dengan demikian maka
Pusat (0,0) dan r = 3

Read more...

Menentukan persamaan fungsi kuadrat

c. Menentukan persamaan fungsi kuadrat
Pada materi sebelumnya telah dibahas langkah-langkah untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat, apabila fungsi kuadratnya diketahui. Sebaliknya, bagaimana cara untuk menentukan fungsi kuadrat jika grafiknya diketahui?
Untuk menjawab pertanyaan diatas, simak penjelasan dibawah ini.

Ada beberapa cara yang dapat digunakan Untuk menentukan persamaan fungsi kuadrat, yaitu:

1.	Jika grafik fungsi kuadratnya memotong sumbu x di titik (x1, 0) dan (x2, 0) maka persamaanya
	y = a(x – x1 )(x – x2 )
2.	Jika grafik fungsi kuadratnya mempunyai titik balik (xe, ye), maka persamaannya
	y = a(x–xe)2 + ye
3.	jika grafik kuadratnya melalui 3 titik selain yang disebutkan diatas, maka untuk menentukan persamaan
	kuadratnya digunakan cara subtitusi dan eliminasi titik ke bentuk umum persamaan kuadrat, yaitu:
	y= ax2 + bx + c

oke mari kita bahas satu-persatu
1. Menentukan grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x
Untuk grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di titik (x₁, 0) dan (x₂, 0) maka persamaannya

y = a(x – x1 ) (x – x2 )

Kemudian substitusikan salah satu titik yang tidak terletak pada sumbu x ke persamaan untuk memperoleh nilai a, lalu substitusikan nilai a yang telah diperoleh pada persamaannya.

Contoh 1:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (–1,0) dan
(3,0) serta melalui titik (1,8)!
Penyelesaian:
grafiknya memotong sumbu x di titik
sehingga x₁ = – 1 dan x₂ = 3

Fungsi kuadrat tersebut adalah
y = a(x – x₁ ) (x – x₂ )
y = a(x – (– 1) ) (x – 3 )
y = a(x + 1)(x – 3) ......... (1)
Melalui titik (1,8) ⇒ subtitusikan titik ini ke persamaan yang di peroleh, yaitu persamaan (1)
y = a(x + 1)(x – 3)
8 = a(1 + 1)(1– 3)
8 = a (2). (–2)
8 = a(–4)
a = –2
subtitusikan nilai a = –2 ke persamaan (1), sehingga:
y = –2(x + 1)(x – 3)
y = – 2(x² – 2x – 3)
y = – 2x² + 4x + 6.
Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = –2x² + 4x + 6.

Contoh 1:
Tentukan fungsi kuadrat di bawah ini:


Jawab:
Grafik fungsi kuadrat diatas memotong sumbu x di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik (0,3). sehingga diketahui:
x₁ = 1 dan x₂ = 3
Fungsi kuadrat tersebut adalah
y = a(x – x₁ ) (x – x₂ )
y = a(x – 1 ) (x – 3 ) ......... (1)
Melalui titik (0,3) ⇒ subtitusikan titik ini ke persamaan yang di peroleh, yaitu persamaan (1)
y = a(x – 1)(x – 3)
3 = a(0 – 1)(0 – 3)
3 = a (–1). (–3)
3 = a(3)
a = 1
subtitusikan nilai a = 1 ke persamaan (1), sehingga:
y = 1(x – 1)(x – 3)
y = (x² – 4x + 3)
Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = x² – 4x + 3.

2. Menentukan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (x_e,y_e)
Jika grafik fungsi kuadrat mempunyai titik puncak (x_e,y_e) maka persamaan yang digunakan adalah

y = a(x–xe)2 + ye

Kemudian substitusikan titik yang bukan titik puncak ke persamaan untuk memperoleh nilai a, lalu substitusikan nilai a yang telah diperoleh pada persamaannya.

Contoh 1:
Tentukan fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (1,2) dan melalui (0,3)!
Penyelesaian:
P(1,2) → x_e = 1 dan y_e = 2
Fungsi kuadrat tersebut adalah
y = a(x - x_e)² + y_e.
y = a(x - 1)² + 2 .... (1)
Melalui titik (0,3) ⇒ subtitusikan titik ini ke persamaan yang di peroleh, yaitu persamaan (1)
3 = a(0-1)² + 2
3 = a + 2 ⇒ a =1
subtitusikan nilai a = 1 ke persamaan (1), sehingga:
y = 1(x -1)² + 2
y = x² - 2x + 1 + 2
y = x² - 2x + 3.
Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = x² – 2x + 3.

3. Menentukan grafik fungsi kuadrat yang melalui 3 titik yang tidak segaris
jika grafik kuadratnya melalui 3 titik selain yang disebutkan diatas, maka untuk menentukan persamaan kuadratnya digunakan cara subtitusi dan eliminasi titik ke bentuk umum persamaan kuadrat, yaitu:

y = ax2 + bx + c

Contoh 1:
Tentukan fungsi kuadrat yang melaui titik-titik (0,3), (1,4) dan (2,9) !

Read more...

Cara menggambar Fungsi Kuadrat

a. Pengertian fungsi kuadrat
Suatu fungsi dalam himpunan bilangan yang dinyatakan dengan rumus fungsi
y = f(x) = ax² + bx +c dengan a, b, c, Î R dan a ¹ 0 disebut fungsi kuadarat dalam x.
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris.


b. Sketsa grafik fungsi kuadrat
Langka -langkah membuat sketsa grafik fungsi kuadrat fungsi kuadrat :
1. Menentukan titik potong dengan sumbu x, → y = 0 (jika ada)
2. Menentukan titik potong dengan sumbu y, → x = 0 (jika ada)
3. Menentukan persamaan sumbu simetri x_e

4. Mentukan titik puncak atau koordinat titik balik (x_e, y_e)

5. Titik Bantu
- Jika a > 0 grafik terbuka ke atas, maka parabola memiliki nilai minimum
- Jika a < 0 grafik terbuka ke bawah, maka parabola memiliki nilai maksimum

Contoh:
Sketsalah grafik fungsi kuadrat y = x² – 4x + 5 !

Jawab:

1.	Titik potong dengan sumbu x → y = 0
	x2 – 4x + 5 = 0 (tidak mempunyai titik potong karena D < 0)
2.	Titik potong dengan sumbu y → x = 0
	x = 0 → y = 5 …. (0,5)
3.	Sumbu simetri x
4.	Mentukan titik puncak atau koordinat titik balik (xe, ye)
	Titik puncak koordinat (2,1)
5.	Titik Bantu
	Dari titik bantu diatas dapat kita buat sketsa fungsi kuadratnya, seperti gambar dibawah ini

Read more...

Fungsi kuadrat berbentuk y=ax^2 + bx + c

Bentuk umum fungsi kuadrat ditulis dalam:

y = ax2 + bx + c

Salah satu cara untuk menentukan unsur utama fungsi kuadrat, yaitu sumbu simetri dan puncak, adalah dengan mengubah ke bentuk umum fungsi kuadrat menjadi bentuk y = a(x-p)² + k dengan rumus kuadrat sempurna.
Perhatikan skema berikut !


Contoh 1
Ubahlah persamaan berikut ke bentuk y = a(x-p)² +k !
1. y = x² + 4x +1
2. y = 4x² + 8x +5
Jawaban

1.	y = x2 + 4x + 1
	y =(x2 + 4x) + 1
	y = (x + 2)2 – 4 + 1
	y = (x + 2)2 – 3
2.	y = 4x2 + 8x + 5
	y = 4(x2 + 2x) + 5
	y = 4(x + 1)2 – 4 + 5
	y = 4(x + 1)2 + 1

Contoh 2
Diketahui fungsi kuadrat y = 2x² + 4x +5 , tetukan puncak dan sumbu simetrinya
Jawab :

	y = 2x2 + 4x + 5
	y = 2(x2 + 2x) + 5
	y = 2(x + 1)2 – 2 + 5
	y = 2(x + 1)2 + 3

p = -1 atau k = 3 , Puncak (p,k ) --> P(-1,3) ,
Sumbu simetri x = p --> x = -1 ,

Read more...

Trigonometri (Pembahasan SP 1 kelas 11 IPA)

No.1
sin 15° = p
dengan bantuan segitiga siku-siku, maka

Dari gambar diatas diperoleh

cos 15°

=

Sehingga:

Sin 75°	=	sin (90 – 15)°
	=	cos 15°
	=

No.2

Sin 65°. Cos 50° + cos 65°. Sin 50°	=	sin (65° + 50°)
	=	sin (90° + 25°)
	=	cos 25°

No.3

cos4 15° - sin4 15°	=	(cos2 15° - sin2 15°)(cos2 15°+ sin2 15°)
	=	cos 2(15°)
	=	cos 30°
	=

No.4



No.5

sin 2x = sin 30°
2x = 30°+n.360°
x = 15°+n.180°
untuk n=0 → x = 15°

2x =(180-30)°+ n.360°
2x = 150°+ n.360°
x = 75°+ n.180°
untuk n=0 → x = 75°
sehingga jumlah nilai x adalah 15° + 75° = 90°

No.6

Dengan membagi persamaan (1) dan (2) diperoleh

Dengan bantuan segitiga siku-siku, maka

dari segitiga siku-siku diatas didapatkan:

Kemudian, subtitusikan nilai sin 1/2(x-y) ke persamaan (1), sehingga:



No.7



No.8

karena  270°< 2A <360°  →  135° < A <180°  →   sin  bernilai (+) sehingga sin A = 1/3

No.9




No.10



left

Read more...

Contoh Soal (Menentukan Peluang)

Berikut ini pembahasan soal dari Lembar Kerja Siswa (LKS) kelas 11 IPA bab peluang. Semoga bermanfaat...

NO. 1
jika disediakan 9 angka, yaitu 1, 2, 3, ...., 9 akan dibentuk bilangan dengan 5 angka dan tidak boleh ada angka yang sama.
a. berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk?
b. berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk, jika bilangan itu habis dibagi 5
c. berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk, jika bilangan itu tidak habis dibagi 5.
penyelesaian
a. banyak bilangan yang dapat dibentuk:
cara I

Sehingga banyak bilangan yang etrbentuk = 9. 8. 7. 6. 5 = 15120 cara

Cara II


b.banyak bilangan yang habis dibagi 5 yang dapat dibentuk:
bilangan yang habis dibagi dengan 5 adalah angka memiliki angka terakhir 5, sehingga

Sehingga banyak bilangan yang etrbentuk = 8. 7. 6. 5. 1 = 1680 cara

c.banyak bilangan yang tidak habis dibagi 5 yang dapat dibentuk:
= 15120 - 1680 = 13440


NO. 2
(Maaf, saya lupa soal lengkapnya. Kurang lebih seperti ini)
Jika sebuah mata uang dan sebuah dadu dilemparkan secara bersama-sama, tentukan peluang dari:
a. Muncul gambar pada mata uang dan angka ganjil pada dadu
b. Muncul Angka pada mata uang dan angka kurang dari 6 pada dadu
penyelesaian
a. Muncul gambar pada mata uang dan angka ganjil pada dadu

A = Kejadian muncul gambar pada mata uang dan angka ganjil pada dadu
A = {(G,1), (G,3), (G,5)}


b. Muncul Angka pada mata uang dan angka kurang dari 6 pada dadu

B = Kejadian muncul Angka pada mata uang dan angka kurang dari 6 pada dadu
B = {(A,1), (A,2), (A,3), (A,4), (A,5)}



NO. 3
Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola biru. Diambil dua buah bola satu demi satu tanpa pengembalian. Berapa peluang yang terambil itu
a. bola merah pada pengambilan pertama dan bola biru pada pengambilan ke dua
b. bola biru pada pengambilan pertama maupun ke dua

penyelesaian
a. peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola biru pada pengambilan ke dua


b. peluang terambilnya bola biru pada pengambilan pertama maupun ke dua

Read more...

Notasi Matriks

Matriks kita beri nama dengan huruf besar seperti A, B, C, dll. Sedangkan elemennya dinotasikan dengan huruf kecil. Matriks yang mempunyai i baris dan j kolom ditulis A=(aij ), artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya aij dimana indeks i menyatakan baris ke i dan indeks j menyatakan kolom ke j dari elemen tersebut.
Secara umum, matriks dengan m baris dan n kolom dapat disajikan sebagai berikut.



Matriks A=(aij ), i=1, 2, 3,…..m dan j=1, 2, 3,……., n yang berarti bahwa m adalah banyaknya baris dan n banyaknya kolom.

Ukuran matriks	2 x 2	2 x 1	2 x 3
Jumlah baris	2	2	2
Jumlah kolom	2	1	3

Matriks yang hanya mempunyai satu baris disebut MATRIKS BARIS, sedangkan matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut MATRIKS KOLOM. Dua buah matriks A dan B dikatakan SAMA jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku aij = bij untuk setiap i dan j

Contoh Soal:
1. Diketahui matriks

Tentukan
a. ordo matriks M
b. banyaknya Elemen pada matriks M tersebut.
c. Nilai m₁₂ dan m₂₃

Jawab:
a. Karena matriks M mempunyai 2 baris dan 3 kolom, maka matriks M berordo 2x3
b. Matriks M mempunyai 6 elemen
c. m₁₂ artinya elemen yang berada pada baris ke-1 dan kolom ke-2 sehingga m₁₂=-1. m₂₃ artinya elemen yang berada pada baris ke-2 dan kolom ke-3 sehingga m₂₃=5.

2. Tentukan matriks koefisien dari sistem persamaan linear berikut.
2x + 3y – z = 6
4x – y + 3z = 10
–x + 2y – 3z = –9

Jawab:
Matriks koefisien dari sistem persamaan tersebut adalah








Telusuri
Pengertian Matriks, Jenis-jenis matriks, macam-macam matriks, notasi matriks, kesamaan dua matriks, operasi pada matriks, opersi matriks, matriks identitas, matriks segitiga, penjumlahan matriks, pengurangan matriks, penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian matriks, invers matriks, transpose matriks,

Read more...