Problem Solving 2 (ax+by=3, ax^2+by^2=7, ax^3+by^3=16, ax^4+by^4=42, ax^5+by^5=....)

Bilangan real a, b, x, dan y memenuhi ax + by = 3, ax²+by² = 7, ax³ + by³ = 16 dan ax⁴ + by⁴ = 42. Tentukan nilai dari ax⁵ + by⁵......

Pembahasan:
soal bentuk ini dapat diselesaikan dalam beberapa cara. pasti sudah penasarankan untuk mengetahui cara menyelesaikannya.
Oke. langsung saja.

cara I:
(ax + by)(x + y) = (ax²+by²) + (a + b )xy
(ax²+by²)(x + y) = (ax³ + by³) + (ax + by)xy
(ax³ + by³)(x + y) = (ax⁴ + by⁴) + (ax²+by²)xy

Jika kita misalkan (x + y)=s dan xy=p, maka
(ax²+by²)(x + y) = (ax³ + by³) + (ax + by)xy
7s = 16 + 3p ..... (1)

(ax³ + by³)(x + y) = (ax⁴ + by⁴) + (ax²+by²)xy
16s = 42 + 7p .....(2)

(ax⁴ + by⁴)(x + y) = (ax⁵ + by⁵) + (ax³ + by³)xy
42s = (ax⁵ + by⁵) + 16p .... (3)

eliminasi (1) dan (2)


subtitusikan s = – 14 ke persamaan (1)
7s = 16 + 3p
7. (– 14) = 16 + 3p
– 98 = 16 + 3p
3p = – 114
P = – 38

subtitusikan s = – 14 dan P = – 38 ke persamaan (3)
42s = (ax⁵ + by⁵) + 16p
42.(–14) = (ax⁵ + by⁵) + 16.(–38)
–588 = ax⁵ + by⁵) – 608
608 – 588 = ax⁵ + by⁵

sehingga:
ax⁵ + by⁵ = 20

Read more...

Bagaimana penyelesaian dari {(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)...}/{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)...}

Untuk memenuhi permintaan salah satu teman, berikut ini saya berikan pembahasan soal-soal AIME. klo tidak salah soal lengkapnya seperti ini.


Tentukan nilai dari



Penyelesaian:
pada soal terlihat perulangan angka 324 yang merupakan bentuk kuadrat dari 18, sehingga dapat kita tulis:
324 = 18²

sehingga:

a4 + 324	= a4 + 182
	= (a2 + 18)2 – 2a2.18
	= (a2 + 18)2 – 36.a2
	= (a2 + 18)2 – (6a)2
	= (a2 + 18 – 6a)(a2 + 18 + 6a)
	= ((a – 3)2 + 32)((a + 3)2 + 32)

dan seterusnya.



Dari bentuk diatas maka diperoleh:


Sehingga:

Read more...