Persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (a,b) dan berjari-jari r dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.


Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x (perhatikan gambar diatas). Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segitiga siku-siku di dengan AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran).

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada segitiga siku-siku AP’P, diperoleh :
AP² = (AP’)² + (PP’)²
r² = (x – a)² + (y – b)²
(x – a)² + (y – b)² = r²

Dengan demikian, Persamaan lingkaran yang berpusat di titik A(a,b) dan jari-jari r adalah:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, –1) dan berjari-jari 5 satuan.
Jawab:
(x – a)² + (y – b)² = r²
(x – 3)² + (y – (–1))² = 5²
(x – 3)² + (y + 1)² = 25

Contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (1, 3) dan melalui (4, 2).
Jawab:
Karena jari-jari lingkarannya belum ada, maka langkah pertama harus menentukan jari-jarinya lebih dulu, dengan subtitusi titik ke persamaan.
(x – a)² + (y – b)² = r²
(4 – 1)² + (2 – 3)² = r²
(3)² + (1)² = r²
9 + 1 = r²
r² = 10
Sehingga persamaan lingkarannya adalah:
(x – 1)² + (y – 3)² = 10