Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Pada saat pertama kali kita belajar persamaan kuadrat, suatu persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dapat kita faktorkan menjadi a(x - α)(x - β)=0, dengan α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat.
Nah, sekarang kita akan menyusun atau menentukan persamaan kuadrat yang diketahui bentuk akar-akar persamaannya.

Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-Akarnya
Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x₁ dan x₂ maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk:

(x – x1) (x – x2) = 0

contoh 1.:
Susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya –2 dan 3
penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar-akar –2 dan 3, maka
x₁ = –2 dan x₂ = 3
dengan demikian:
(x – x₁) (x – x₂) = 0
(x – (–2)) (x – 3) = 0
(x + 2) (x – 3) = 0
x² – 3x + 2x – 6 = 0
x² – x – 6 = 0, yaitu dengan menganggap a = 1

contoh 2.:
Susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya -3 dan 3
penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar-akar -3 dan 3, maka
x₁ = -3 dan x₂ = 3
dengan demikian:
(x – x₁) (x – x₂) = 0
(x – (–3)) (x – 3) = 0
(x + 3) (x – 3) = 0
x² – 3x + 3x – 9 = 0
x² – 9 = 0, yaitu dengan menganggap a = 1

Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akarnya
Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x₁ dan x₂, dan diketahui (x₁ + x₂) dan (x₁.x₂) maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk

x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

Bentuk persamaan tersebut dapat digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat baru jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat baru berhubungan dengan persamaan kuadrat yang lain.

Contoh Soal:
contoh 3.:
1. Tentukan persamaan kuadrat dengan rumus yang akar-akarnya 1 dan –4
penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar-akar 1 dan -4, maka
x₁ = 1 dan x₂ = -4
dengan demikian:
x² -(x₁ + x₂)x+ x₁.x₂ = 0
x² -(1 + (-4))x+ 1.(-4) = 0
x² - (-3)x - 4 = 0
x² + 3x - 4 = 0

2. Tentukan persamaan kuadrat dengan rumus yang akar-akarnya 3 dan −1/2
penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki akar-akar 3 dan -1/2, maka

sehingga persamaan kuadratnya adalah


3. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan 3x² – 4x + 2 = 0
Jawab:
Misalkan, x adalah akar dari persamaan kuadrat 3x² – 4x + 2 = 0, sedangkan persamaan kuadrat baru memiliki akar-akar a, maka
a = x + 2 ⇔ x = a – 2
Substitusikan x = a – 2 ke dalam persamaan kuadrat semula sehingga
diperoleh:
3x² – 4x + 2 = 0
3 (a – 2)² – 4 (a – 2) + 2 = 0
3 (a² – 4a + 4) – 4a + 8 + 2 = 0
3a² – 12a + 12 – 4a + 10 = 0
3a² – 16a + 22 = 0
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah 3a² – 16a + 22 = 0 atau dapat juga dinyatakan dalam bentuk 3x² – 16x + 22 = 0.


4. Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 mempunyai akar x₁ dan x₂. Jika x₁ + x₂ = 3 dan x₁.x₂= –1/2, persamaan kuadrat tersebut adalah

penyelesaian:
karena persamaan kuadrat memiliki
x₁ + x₂ = 3
x₁.x₂ = -1/2
dengan demikian:
x² -(x₁ + x₂)x+ x₁.x₂ = 0
x² -(3)x - 1/2 = 0
x² - 3x - 1/2 = 0
2x² - 6x - 1 = 0


5. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat x² – 8x – 2 = 0 adalah x₁ dan x₂. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x₁/x₂ dan x₂/x₁

penyelesaian:
x² – 8x – 2 = 0
Dengan nilai a = 1, b = –8, c = –2 maka

Misalkan, akar-akar persamaan kuadrat barunya adalah α dan β


Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah:
x² – (α + β)x + (α.β) = 0
x² – (–34)x + 1 = 0
x² + 34x + 1 = 0.

Read more...

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari cara mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan berbagai cara. Jika akar-akar persamaan kuadrat telah kita peroleh maka dengan mudah kita dapat mencari hasil kali dan jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Lalu, Bagaimana halnya jika akar-akar persamaan kuadratnya belum diperoleh, dan kita akan mencari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat? Bisakah kita menentukan hasil jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tanpa harus mencari akar-akarnya?
Jawabannya adalah “Bisa”.
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara berikut ini.
Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 memiliki akar-akar x₁, x₂ sebagai berikut:


Maka jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah:

Jadi, rumus hasil jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah:


Sedangkan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah:

Jadi, rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah:


Contoh Soal:
Jika x₁, x₂ merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat 2x² + 4x – 14 = 0, tentukan nilai dari:

Penyelesaian :

Read more...

Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Nilai Diskriminan

Pada pembahasan sebelumnya telah diperoleh cara mencari akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 (a, b dan c ∈ riil) yaitu dengan menggunakan rumus abc:

Pada rumus tersebut terdapat bentuk (b² – 4ac) yang disebut diskriminan (D). Dengan menggunakan diskriminan (D = b² – 4ac), dapat ditentukan jenis akar-akar dari persamaan kuadrat, yaitu:

a.	Jika D > 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai 2 akar riil yang berlainan.
	Jika D berbentuk kuadrat sempurna dan D ≠ 0 maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar riil berlainan dan rasional jika a, b, dan c bilangan rasional
	Jika D bukan bentuk kuadrat sempurna dan D ≠ 0 maka memiliki 2 akar riil berlainan dan irasional
b.	Jika D < 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar riil.
c.	Jika D = 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki 2 akar riil yang sama.

Contoh:
Dengan menentukan nilai Diskriminan, tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut:
a. 2x² + 3x – 14 = 0
b. 3x² – 5x + 2 = 0
c. 2x² + 3x + 4 = 0
d. 4x² – 12x + 9 = 0

Jawab:
a. 2x² + 3x – 14 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 3, c = –14 maka

D	= 32 – 4 ・ 2 ・ (–14)
	= 9 + 112 = 121

Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 2x² + 3x – 14 = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda.

b. 3x² – 5x + 2 = 0
Dengan nilai a = 3, b = –5, c = 1 maka

D	= (–5)2 – 4 ・ 3 ・ 2
	= 25 – 24 = 1

Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 3x² – 5x + 2 = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda.

c. 2x² + 3x + 4 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 3, c = 4 maka

D	= 32 – 4 ・ 2 ・ 4
	= 9 – 32 = –23

Oleh karena D < 0 maka persamaan kuadrat 2x² + 3x + 4 = 0 tidak mempunyai akar riil.

d. 4x² – 12x + 9 = 0
Dengan nilai a = 4, b = –12, c = 9 maka

D	= (–12)2 – 4 ・ 4 ・ 9
	= 144 – 144 = 0

Oleh karena D = 0 maka persamaan kuadrat 4x² – 12x + 9 = 0 mempunyai 2 akar kembar.

Read more...

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat (Bagian 2)

Seperti janji saya pada postingan sebelumnya. Kali ini kita akan membahas tentang Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan cara melengkapi kuadrat sempurna





Menentukan akar- akar Persamaan dengan Menyempurnakan Kuadrat
tidak semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran, misalnya x² – 6x + 2 = 0. Persamaan kuadrat semacam ini dapat diselesaikan dengan cara melengkapi kuadrat sempurna, yaitu mengubah bentuk persamaan ax² + bx + c = 0 dengan beberapa tahap, yaitu sebagai berikut.
1) Pisahkan konstanta atau pindahkan konstanta ke ruas kanan.
ax² + bx = - c
2) Jika a ≠ 1, bagi kedua ruas dengan a.

3) Tambahkan pada kedua ruas kuadrat dari ½ kali koefisien x.

4) Nyatakan dalam bentuk kuadrat sempurna pada ruas kiri.

5) Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat sempurna di atas dengan menarik akar pada kedua ruas.


Contoh:
Dengan melengkapkan kuadrat, tentukanlah himpunan penyelesaian untuk persamaan kuadrat di bawah ini:
a. x² – 4x + 2 = 0
b. x² + 6x – 1 = 0
c. 2x² – 5x – 4 = 0
d. 3x² + 2x – 6 = 0
Jawab:
a. x² – 4x + 2 = 0

x2 – 4x	=	–2
x2 – 4x + (–4/2)2	=	–2 + (–4/2)2
x2 – 4x + 4	=	–2 + 4
(x – 2)2	=	2
x – 2	=	± √2
x	=	2 ± √2

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2+√2, 2–√2}

b. x² + 6x – 1 = 0

x2 + 6x	=	1
x2 + 6x + (6/2)2	=	1 + (6/2)2
x2 + 6x + 9	=	1 + 9
(x + 3)2	=	10
x + 3	=	± √10
x	=	–3 ± √10

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {–3+√10, –3–√10}

c. 2x² – 5x – 4 = 0


d. 3x² + 2x –6 = 0




Menentukan akar- akar Persamaan dengan Menggunakan Rumus abc
Masih ingat cara menentukan akar-akar persamaan dengan melengkapi kuadrat sempurna?? Nah, rumus abc ini berawal dari cara tersebut.
Pada saat kita menyelesaikan persamaan ax² + bx + c = 0 dengan melengkapi kuadrat sempurna ( yang telah kita bahas sebelumnya), didapatkan penyelesaian berikut

Rumus diatas dapat juga ditulis dalam bentuk:


Contoh:
Dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus abc), tentukanlah himpunan penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini:
a. x² – 4x + 2 = 0
b. 2x² – 5x – 6 = 0
jawab:
a. x² – 4x + 5 = 0
dari persamaan diatas, diketahui nilai a=1, b= -4 dan c=2. Sehingga:


b. 2x² – 5x – 6 = 0
dari persamaan diatas, diketahui nilai a=2, b= -5 dan c=2. Sehingga:

Read more...

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Dalam menyelesaikan setiap persamaan kuadrat yang Anda cari adalah akar-akar persamaan kuadrat atau nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.
Menyelesaikan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu dengan memfaktorkan, menyempurnakan bentuk kuadrat, maupun dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus abc).


a. Memfaktorkan

Sifat yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan adalah sifat faktor nol.
1) Memfaktorkan Persamaan bentuk ax² + bx = 0
Untuk memfaktorkan persamaan kuadrat dengan bentuk ax² + bx = 0 dapat dilakukan dengan memisahkan x sesuai dengan sifat distributif, yaitu:
ax² + bx = 0
x(ax + b) = 0
Jadi, x = 0 atau ax + b = 0.
contoh:
Selesaikanlah persamaan kuadrat di bawah ini:
a. x² – 5x = 0
b. 4x² + 3x = 0
Jawab:
a. x² – 5x = 0
x(x – 5) = 0
x = 0 atau x – 5 = 0
x = 0 atau x = 5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 5}.

b. 4x² + 3x = 0
x(4x + 3) = 0
x = 0 atau 4x + 3 = 0
x = 0 atau 4x = –3
x = − 3/4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { -3/4 , 0}.

2) Memfaktorkan Persamaan bentuk ax² + bx + c = 0
Untuk persamaan kuadrat jenis ax² + bx + c = 0 dapat difaktorkan dalam bentuk

dengan p dan q bilangan bulat, atau

sehingga dapat disimpulkan


contoh:
Dengan memfaktorkan, tentukan himpunan penyelesaian untuk persamaan kuadrat di bawah ini.
a. x² – 3x – 4 = 0
b. x² – 5x – 14 = 0
c. 2x² + 9x + 7 = 0
d. 3x² – 7x – 6 = 0
e. 6x² – 23x + 7 = 0
Jawab:
a. x² – 3x – 4 = 0
Dengan nilai a = 1, b = –3, c = –4, maka p + q = –3; p · q = –4
Nilai p dan q dapat ditentukan dengan cara mencari bilangan yang apabila dijumlahkan menghasilkan –3 dan dikalikan menghasilkan –4. Untuk itu, didapat p = –4 dan q = 1 sehingga:
x² – 3x – 4 = 0
(x – 4) (x + 1) = 0
x – 4 = 0 atau x + 1 = 0
x = 4 atau x = –1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–1, 4}.

b. x² – 5x – 14 = 0
Dengan nilai a = 1, b = –5, c = –14, maka p + q = –5; p · q = –14
Nilai p dan q dapat ditentukan dengan cara mencari bilangan yang apabila dijumlahkan menghasilkan –5 dan dikalikan menghasilkan –14. Untuk itu, didapat p = –7 dan q = 2 sehingga:
x² – 5x – 14 = 0
(x – 7) (x + 2) = 0
x – 7 = 0 atau x + 2 = 0
x = 7 atau x = –2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–2, 7}.

c. 2x² + 9x + 7 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 9, c = 7
p + q = 9; p · q = a · c = 14
Untuk nilai p dan q dapat ditentukan dengan cara mencari bilangan yang apabila dijumlahkan menghasilkan 9 dan dikalikan menghasilkan 14. Didapat p = 7 dan q = 2 sehingga:
2x² + 9x + 7 = 0
(2x + 7) (x + 2/2) = 0
(2x + 7)(x + 1) = 0
2x + 7 = 0 atau x + 1 = 0
x = –7/2 atau x = –1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { -7/2 , –1}.

d. 3x² – 7x – 6 = 0
Dengan nilai a = 3, b = –7, c = –6
p + q = –7; p · q = 3 · –6 = –18
Dengan cara yang sama, untuk menentukan nilai p dan q yang apabila dijumlahkan menghasilkan –7 dan dikalikan menghasilkan –18. Didapat p = 2 dan q = –9 sehingga:
3x² – 7x – 6 = 0
(3x + 2) (x + (− 9/3)) = 0
(3x + 2) (x – 3) = 0
3x + 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = –2/3 atau x = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { -2/3 , 3}.

e. 6x² – 23x + 7 = 0
Dengan nilai a = 6, b = –23, c = 7
p + q = –23; p · q = 6 · 7 = 42
Dengan cara yang sama pula, nilai p dan q dapat dicari dengan cara mencari bilangan yang apabila dijumlahkan menghasilkan –23 dan dikalikan menghasilkan 42. Didapat p = –2 dan q = –21 sehingga:
6x² – 23x + 7 = 0
(6x – 2) (x − 21/6)= 0
6x – 2 = 0 atau x − 21/6= 0
6x = 2 atau x =21/6
x = 1/3 atau x = 7/2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1/3, 7/2}.

Udahan dulu ya, udah kelamaan nih. Untuk yang menyempurnakan bentuk kuadrat, maupun penggunaan rumus kuadrat (rumus abc) kita lanjutin besok aja. Ditunggu ya....

Oke deh, Saya mau kerja dulu....

Read more...

Pengertian dan Bentuk umum Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan (=) dan memiliki pangkat tertinggi dua.
Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum:

ax2 + bx + c = 0

dengan a, b, dan c ∈ R dan a ≠ 0, dimana x dan x² disebut variabel; a, b disebut koefisien dan c disebut konstanta.

Contoh:
Tentukan setiap koefisien variabel x², koefisien variabel x dan konstanta dari persamaan kuadrat berikut:
a. 3x² – 2x + 4 = 0
b. –2x² + 5x – 1 = 0
Jawab:
a. 3x² – 2x + 4 = 0
koefisien x² = 2
koefisien x = –3
konstanta = 4

b. –2x² + 5x – 1 = 0
koefisien x² = –2
koefisen x = 5
konstanta = –1

Read more...