Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Nilai Diskriminan

Pada pembahasan sebelumnya telah diperoleh cara mencari akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 (a, b dan c ∈ riil) yaitu dengan menggunakan rumus abc:

Pada rumus tersebut terdapat bentuk (b² – 4ac) yang disebut diskriminan (D). Dengan menggunakan diskriminan (D = b² – 4ac), dapat ditentukan jenis akar-akar dari persamaan kuadrat, yaitu:

a.	Jika D > 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai 2 akar riil yang berlainan.
	Jika D berbentuk kuadrat sempurna dan D ≠ 0 maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar riil berlainan dan rasional jika a, b, dan c bilangan rasional
	Jika D bukan bentuk kuadrat sempurna dan D ≠ 0 maka memiliki 2 akar riil berlainan dan irasional
b.	Jika D < 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 tidak memiliki akar riil.
c.	Jika D = 0 maka persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 memiliki 2 akar riil yang sama.

Contoh:
Dengan menentukan nilai Diskriminan, tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut:
a. 2x² + 3x – 14 = 0
b. 3x² – 5x + 2 = 0
c. 2x² + 3x + 4 = 0
d. 4x² – 12x + 9 = 0

Jawab:
a. 2x² + 3x – 14 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 3, c = –14 maka

D	= 32 – 4 ・ 2 ・ (–14)
	= 9 + 112 = 121

Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 2x² + 3x – 14 = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda.

b. 3x² – 5x + 2 = 0
Dengan nilai a = 3, b = –5, c = 1 maka

D	= (–5)2 – 4 ・ 3 ・ 2
	= 25 – 24 = 1

Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 3x² – 5x + 2 = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda.

c. 2x² + 3x + 4 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 3, c = 4 maka

D	= 32 – 4 ・ 2 ・ 4
	= 9 – 32 = –23

Oleh karena D < 0 maka persamaan kuadrat 2x² + 3x + 4 = 0 tidak mempunyai akar riil.

d. 4x² – 12x + 9 = 0
Dengan nilai a = 4, b = –12, c = 9 maka

D	= (–12)2 – 4 ・ 4 ・ 9
	= 144 – 144 = 0

Oleh karena D = 0 maka persamaan kuadrat 4x² – 12x + 9 = 0 mempunyai 2 akar kembar.

Read more...

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat (Bagian 2)

Seperti janji saya pada postingan sebelumnya. Kali ini kita akan membahas tentang Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan cara melengkapi kuadrat sempurna





Menentukan akar- akar Persamaan dengan Menyempurnakan Kuadrat
tidak semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran, misalnya x² – 6x + 2 = 0. Persamaan kuadrat semacam ini dapat diselesaikan dengan cara melengkapi kuadrat sempurna, yaitu mengubah bentuk persamaan ax² + bx + c = 0 dengan beberapa tahap, yaitu sebagai berikut.
1) Pisahkan konstanta atau pindahkan konstanta ke ruas kanan.
ax² + bx = - c
2) Jika a ≠ 1, bagi kedua ruas dengan a.

3) Tambahkan pada kedua ruas kuadrat dari ½ kali koefisien x.

4) Nyatakan dalam bentuk kuadrat sempurna pada ruas kiri.

5) Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat sempurna di atas dengan menarik akar pada kedua ruas.


Contoh:
Dengan melengkapkan kuadrat, tentukanlah himpunan penyelesaian untuk persamaan kuadrat di bawah ini:
a. x² – 4x + 2 = 0
b. x² + 6x – 1 = 0
c. 2x² – 5x – 4 = 0
d. 3x² + 2x – 6 = 0
Jawab:
a. x² – 4x + 2 = 0

x2 – 4x	=	–2
x2 – 4x + (–4/2)2	=	–2 + (–4/2)2
x2 – 4x + 4	=	–2 + 4
(x – 2)2	=	2
x – 2	=	± √2
x	=	2 ± √2

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2+√2, 2–√2}

b. x² + 6x – 1 = 0

x2 + 6x	=	1
x2 + 6x + (6/2)2	=	1 + (6/2)2
x2 + 6x + 9	=	1 + 9
(x + 3)2	=	10
x + 3	=	± √10
x	=	–3 ± √10

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {–3+√10, –3–√10}

c. 2x² – 5x – 4 = 0


d. 3x² + 2x –6 = 0




Menentukan akar- akar Persamaan dengan Menggunakan Rumus abc
Masih ingat cara menentukan akar-akar persamaan dengan melengkapi kuadrat sempurna?? Nah, rumus abc ini berawal dari cara tersebut.
Pada saat kita menyelesaikan persamaan ax² + bx + c = 0 dengan melengkapi kuadrat sempurna ( yang telah kita bahas sebelumnya), didapatkan penyelesaian berikut

Rumus diatas dapat juga ditulis dalam bentuk:


Contoh:
Dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus abc), tentukanlah himpunan penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini:
a. x² – 4x + 2 = 0
b. 2x² – 5x – 6 = 0
jawab:
a. x² – 4x + 5 = 0
dari persamaan diatas, diketahui nilai a=1, b= -4 dan c=2. Sehingga:


b. 2x² – 5x – 6 = 0
dari persamaan diatas, diketahui nilai a=2, b= -5 dan c=2. Sehingga:

Read more...

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Dalam menyelesaikan setiap persamaan kuadrat yang Anda cari adalah akar-akar persamaan kuadrat atau nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.
Menyelesaikan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu dengan memfaktorkan, menyempurnakan bentuk kuadrat, maupun dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus abc).


a. Memfaktorkan

Sifat yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan adalah sifat faktor nol.
1) Memfaktorkan Persamaan bentuk ax² + bx = 0
Untuk memfaktorkan persamaan kuadrat dengan bentuk ax² + bx = 0 dapat dilakukan dengan memisahkan x sesuai dengan sifat distributif, yaitu:
ax² + bx = 0
x(ax + b) = 0
Jadi, x = 0 atau ax + b = 0.
contoh:
Selesaikanlah persamaan kuadrat di bawah ini:
a. x² – 5x = 0
b. 4x² + 3x = 0
Jawab:
a. x² – 5x = 0
x(x – 5) = 0
x = 0 atau x – 5 = 0
x = 0 atau x = 5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 5}.

b. 4x² + 3x = 0
x(4x + 3) = 0
x = 0 atau 4x + 3 = 0
x = 0 atau 4x = –3
x = − 3/4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { -3/4 , 0}.

2) Memfaktorkan Persamaan bentuk ax² + bx + c = 0
Untuk persamaan kuadrat jenis ax² + bx + c = 0 dapat difaktorkan dalam bentuk

dengan p dan q bilangan bulat, atau

sehingga dapat disimpulkan


contoh:
Dengan memfaktorkan, tentukan himpunan penyelesaian untuk persamaan kuadrat di bawah ini.
a. x² – 3x – 4 = 0
b. x² – 5x – 14 = 0
c. 2x² + 9x + 7 = 0
d. 3x² – 7x – 6 = 0
e. 6x² – 23x + 7 = 0
Jawab:
a. x² – 3x – 4 = 0
Dengan nilai a = 1, b = –3, c = –4, maka p + q = –3; p · q = –4
Nilai p dan q dapat ditentukan dengan cara mencari bilangan yang apabila dijumlahkan menghasilkan –3 dan dikalikan menghasilkan –4. Untuk itu, didapat p = –4 dan q = 1 sehingga:
x² – 3x – 4 = 0
(x – 4) (x + 1) = 0
x – 4 = 0 atau x + 1 = 0
x = 4 atau x = –1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–1, 4}.

b. x² – 5x – 14 = 0
Dengan nilai a = 1, b = –5, c = –14, maka p + q = –5; p · q = –14
Nilai p dan q dapat ditentukan dengan cara mencari bilangan yang apabila dijumlahkan menghasilkan –5 dan dikalikan menghasilkan –14. Untuk itu, didapat p = –7 dan q = 2 sehingga:
x² – 5x – 14 = 0
(x – 7) (x + 2) = 0
x – 7 = 0 atau x + 2 = 0
x = 7 atau x = –2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–2, 7}.

c. 2x² + 9x + 7 = 0
Dengan nilai a = 2, b = 9, c = 7
p + q = 9; p · q = a · c = 14
Untuk nilai p dan q dapat ditentukan dengan cara mencari bilangan yang apabila dijumlahkan menghasilkan 9 dan dikalikan menghasilkan 14. Didapat p = 7 dan q = 2 sehingga:
2x² + 9x + 7 = 0
(2x + 7) (x + 2/2) = 0
(2x + 7)(x + 1) = 0
2x + 7 = 0 atau x + 1 = 0
x = –7/2 atau x = –1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { -7/2 , –1}.

d. 3x² – 7x – 6 = 0
Dengan nilai a = 3, b = –7, c = –6
p + q = –7; p · q = 3 · –6 = –18
Dengan cara yang sama, untuk menentukan nilai p dan q yang apabila dijumlahkan menghasilkan –7 dan dikalikan menghasilkan –18. Didapat p = 2 dan q = –9 sehingga:
3x² – 7x – 6 = 0
(3x + 2) (x + (− 9/3)) = 0
(3x + 2) (x – 3) = 0
3x + 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = –2/3 atau x = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { -2/3 , 3}.

e. 6x² – 23x + 7 = 0
Dengan nilai a = 6, b = –23, c = 7
p + q = –23; p · q = 6 · 7 = 42
Dengan cara yang sama pula, nilai p dan q dapat dicari dengan cara mencari bilangan yang apabila dijumlahkan menghasilkan –23 dan dikalikan menghasilkan 42. Didapat p = –2 dan q = –21 sehingga:
6x² – 23x + 7 = 0
(6x – 2) (x − 21/6)= 0
6x – 2 = 0 atau x − 21/6= 0
6x = 2 atau x =21/6
x = 1/3 atau x = 7/2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1/3, 7/2}.

Udahan dulu ya, udah kelamaan nih. Untuk yang menyempurnakan bentuk kuadrat, maupun penggunaan rumus kuadrat (rumus abc) kita lanjutin besok aja. Ditunggu ya....

Oke deh, Saya mau kerja dulu....

Read more...

Pengertian dan Bentuk umum Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan (=) dan memiliki pangkat tertinggi dua.
Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum:

ax2 + bx + c = 0

dengan a, b, dan c ∈ R dan a ≠ 0, dimana x dan x² disebut variabel; a, b disebut koefisien dan c disebut konstanta.

Contoh:
Tentukan setiap koefisien variabel x², koefisien variabel x dan konstanta dari persamaan kuadrat berikut:
a. 3x² – 2x + 4 = 0
b. –2x² + 5x – 1 = 0
Jawab:
a. 3x² – 2x + 4 = 0
koefisien x² = 2
koefisien x = –3
konstanta = 4

b. –2x² + 5x – 1 = 0
koefisien x² = –2
koefisen x = 5
konstanta = –1

Read more...

Menentukan Logaritma Berbasis 10 dengan Menggunakan Tabel Logaritma

Sebelum menentukan nilai logaritma dengan menggunakan tabel ini, Anda perlu memahami terlebih dahulu hal-hal yang berhubungan dengan tabel logaritma tersebut.
Logaritma suatu bilangan nilainya terdiri atas dua bagian, yaitu karakteristik (bilangan yang terletak di depan koma desimal) dan mantisa (bilangan yang terletak di belakang koma).
Contoh:


Dalam tabel logaritma terdapat kolom-kolom, kolom pertama (disebut kolom N). Dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangan yang berurutan mulai dari 0 sampai dengan 1000. Baris judul pada kolom kedua sampai dengan kolom kesebelas dari kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan angka 0,1,...,9.
Pada kolom-kolom tersebut dari atas ke bawah memuat mantisa, yang terdiri atas 4 angka (digit).
Besar karakteristik dari logaritma dapat ditentukan berdasarkan nilai numerusnya.
alog x = n
a. Jika 1 < x < 10 karakteristiknya 0
b. Jika 10 < x < 100 karakteristiknya 1
c. Jika 100 < x < 1000 karakteristiknya 2


Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan:
a. log 2,6;
b. log 2,65;
c. log 26,5;
d. log 265.
Jawab:
a. log 2,6 = 0,...

Perhatikan gambar di atas. Bagian desimalnya (mantisa) diperoleh dari pertemuan antara baris yang memuat angka 2 dan kolom yang memuat angka 6, yaitu 4150.
Jadi, log 2,6 = 0, 4150.

b. log 1,25 = 0,...

Bagian desimalnya (mantisa) diperoleh dari pertemuan antara baris
yang memuat angka 12 dan kolom yang memuat angka 5, yaitu 0969.
Jadi, log 1,25 = 0, 0969

c. log 12,5 = 1,...
Langkah yang dilakukan sama seperti pada bagian (b) tersebut. Jadi
log 12,5 = 1,0969.

d. log 125 = 2,...
Langkah yang dilakukan sama seperti pada bagian (b) dan (c) tersebut.
Jadi log 265 = 2,0969.


Untuk lebih memperjelas perhatikan contoh soal berikut:
Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan nilai dari:
a. log 0,471;
b. log 0,087;
c. log 0,00984.
Jawab:
a. log 0,471= log 4,71 × 10^–1
= log 4,71 + log 10^–1
= log 4,71 – 1
= 0,673 – 1
= –0,327

b. b. log 0,087= log 8,7 × 10–2
= log 8,7 + log 10^–2
= log 8,7 – 2
= 0,939 – 2
= –1,061

c. log 0,00984 = log 9,84 × 10^–3
= log 9,84 + log 10^–3
= log 9,84 – 3
= 0,993 – 3
= –2,007

Read more...

Menentukan nilai integral dari tan x

Tentukan nilai dari : ∫tan x dx

Untuk menentukan nilai integral dari tan x, pertama-tama ubah nilai dari tan x menjadi bentuk (sin x/cos x), sehingga



Misalkan:


subtitusikan nilai -du=sin x, u=cos x ke persamaan


hasil diatas masih bisa kita ubah menjadi bentuk lain yaitu:

∫tan x dx	=	-ln |cos x|+C
	=	ln |(cos x)-1 |+C
	=	ln |sec x|+C

Sehingga

∫tan x dx = -ln |cos x|+ C = ln |sec x| + C

Read more...

Berapa Nilai integral dari sec x

Tentukan nilai dari : ∫ sec x dx

Untuk menentukan nilai integral dari sec x, pertama-tama ubah nilai dari sec x dengan mengalikan penyebut dan pembilangnya dengan (sec x + tan x), sehingga menjadi bentuk seperti di bawah ini.


Misalkan:
u = sec x + tan x
du = (sec x tan x + sec2 x) dx
subtitusikan bentuk diatas ke persamaan





Sehingga

∫ sec x dx = ln |sec x + tan x| + C

Read more...

Menghitung Medan Magnet disekitar Kawat Lurus

Menghitung Medan Magnet disekitar Kawat Lurus

Besarnya medan Magnet disekitar kawat lurus panjang berarus listrik. Dipengaruhi oleh besarnya kuat arus listrik dan jarak titik tinjauan terhadap kawat. Semakin besar kuat arus semakin besar kuat medan magnetnya, semakin jauh jaraknya terhadap kawat semakin kecil kuat medan magnetnya.
Berdasarkan perumusan matematik oleh Biot-Savart maka besarnya kuat medan magnet disekitar kawat berarus listrik dirumuskan dengan:





B = Medan magnet dalam tesla ( T )
μo = permeabilitas ruang hampa
I = Kuat arus listrik dalam ampere ( A )
a = jarak titik P dari kawat dalam meter ( m)

Arah medan magnet menggunakan Aturan tangan kanan. Medan magnet adalah besaran vector, sehingga apabila suatu titik dipengaruhi oleh beberapa medan magnet maka di dalam perhitungannya menggunakan operasi vektor. Berikut ditampilkan beberapa gambar yang menunnjukkan arah arus dan arah medan magnet. Arah medan magnet didaerah titik P ( diatas kawat berarus listrik ) menembus bidang menjauhi pengamat sedang didaerah titik Q dibawah kawat berarus listrik menembus bidang mendekati pengamatArah medan magnet didaerah titik P ( diatas kawat berarus listrik ) menembus bidang menjauhi pengamat sedang didaerah titik Q dibawah kawat berarus listrik menembus bidang mendekati pengamat. Tanda titik ( . ) menunjukkan arah medan menembus bidang mendekati pengamat. Tanda silang ( x ) menunjukkan arah medan menembus bidang menjauhi pengamat. Tanda anak panah biru menunjukkan arah arus listrik.

Read more...

Menghitung Medan Magnet pada Toroida

Toroida adalah sebuah solenoida yang dilengkungkan sehingga berbentuk lingkaran kumparan.

Pada gambar anda anak panah merah adalah arah arus sedang tanda panah biru arah medan magnet.

Besarnya medan magnet ditengah-tengah Toroida ( pada titik-titik yang berada pada garis lingkaran merah ) dapat dihitung dengan rumus:

Keterangan:
Bo = Medan magnet dititik ditengah-tengah Toroida dalam tesla ( T )
N = jumlah lilitan pada Solenoida dalam lilitan
I = kuat arus listrik dalam ampere ( A )
a = rata-rata jari2 dalam dan jari-jari luar toroida dengan satuan meter ( m )
a = ½ ( R₁ + R₂ )


Contoh :
Sebuah Toroida terdiri dari 6000 lilitan dialiri arus listrik sebesar 10 A . Jika jari-jari dalam dan luar berturut-turut 2 dan 4 meter . Tentukan besarnya induksi magnet ditengah toroida !
Jawab :

Diketahui :
N = 6000 lilitan
I = 10 A
R₁ = 2 meter
R₂ = 4 meter
a = ½ ( 2 + 4 ) = 3 m

Ditanya : Bo = ……… ?
Dijawab :

Read more...